ppi 201502ZU4659
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ISSN 0254-0770 / Depósito legal pp 197802ZU38
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
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DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA
REVISTA TÉCNICAREVISTA TÉCNICA
“Buscar la verdad y aanzar
los valores transcendentales”,
misión de las universidades en
su artículo primero, inspirado
en los principios humanísticos.
Ley de Universidades 8 de
septiembre de 1970.
“Buscar la verdad y aanzar
los valores transcendentales”,
misión de las universidades en
su artículo primero, inspirado
en los principios humanísticos.
Ley de Universidades 8 de
septiembre de 1970.
VOLUMEN ESPECIAL 2020 No.1
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2020, No. 1, pp. 03-55
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2020, No. 1, 18- 25
Dynamic linear method for simulating seismic events and
their effect on school buildings
Cristian Luis Inca Balseca* ,Jorge Milton Lara Sinaluisa , Ángel Patricio Mena
Reinoso
Facultad de Informática y Electrónica, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba 060106,
Ecuador
*Autor de Contacto:cristianl.inca@espoch.edu.ec
https://doi.org/10.22209/rt.ve2020a03
Recepción: 31/10/2019 | Aceptación: 14/01/2020 | Publicación: 01/03/2020
Abstract
This research aims toward the application of a linear analysis model to evaluate the kinematic responses of a
school building, subjected to a simulation of a medium intensity earthquake. Applyed the method of time-history analysis of
the Newmark algorithm and compared with the results obtained using the ETABS and MATLAB simulation models to study
the Technical University of Machala`s classroom building, Ecuador. The results show that the Newmark algorithm presents
results very close to those obtained with the ETABS and MATHLAB models, which differ in ranges between 0.18% and
47.01%, being the most accurate model at the structure lower levels, which allows the algorithm to be considered as a useful
tool in an analysis within the elastic range.
Keywords: models; seismic risks; vulnerability.
Método dinámico lineal para la simulación de eventos
Resumen
La presente investigación tiene como objetivo aplicar un modelo de análisis lineal para evaluar las respuestas
método análisis tiempo-historia el algoritmo de Newmark y se comparó con los resultados obtenidos usando los modelos
de simulación ETABS y MATHLAB para estudiar el desplazamiento estructural horizontal y vertical en los diferentes niveles
resultados muestran que el algoritmo Newmark presenta resultados muy cercanos a los obtenidos con los modelos ETABS y
más bajo de la estructura, lo que permite considerar al algoritmo como una herramienta útil en un análisis dentro del rango
elástico.
Palabras clave: modelos; riesgos sísmicos; vulnerabilidad.
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2020, No. 1, pp. 03-55
19
Método dinámico lineal para la simulación de eventos sísmicos
Introducción
Los eventos sísmicos de mediana y alta intensidad
constituyen un riesgo de desastre natural que puede
afectar a las poblaciones más vulnerables, especialmente
de población como hospitales y escuelas[1] [2].
Las poblaciones ubicadas a lo largo de la
cordillera andina son zonas de alto riesgo sísmicos [3] [4],
por lo que las normas de construcción deben adecuarse
a esta condición [5], esto considerando que no existen
modelos ni programas computarizados para predecir los
eventos sísmicos, pero si programas para evaluar el efecto
de sismos de duración y magnitud conocida sobre las
Entre los procedimientos que se han empleado
con éxito para el estudio de la vulnerabilidad sísmica
están los programas computarizados como ETABS,
MATHLAB y SELENA [7] [8] [9] los cuales se basan en
una análisis histórico- temporal de un evento sísmico,
basado en la simulación de aceloragramas, generados con
la información de eventos sísmicos previos en la zona bajo
estudio.
El análisis tiempo historia es un análisis paso a
paso de la respuesta dinámica de una estructura para una
el comportamiento sísmico de las estructuras lo amerita
con mayor aproximación el comportamiento lineal de
las estructuras [10] [11]. El método “paso a paso” en el
tiempo consiste en someter a la estructura a un sismo real
o sintético pudiendo estar o no escalado.
Las ecuaciones de equilibrio dinámico a ser
resueltas están dadas por:
Donde K es la matriz de rigidez, C es la matriz de
amortiguamiento, M es la matriz de masa, u, 𝒖𝒖
a ser los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de
la estructura, y p las cargas aplicadas. Si la carga incluye
aceleración del suelo, como lo es en el presente proyecto
los desplazamientos, velocidades y aceleraciones son
relativos a este movimiento del suelo.
En método de Newmark es un de métodos de
integración de paso simple para la solución de problemas
de dinámica estructural para cargas sísmicas [12]. Dentro
de las ecuaciones se utilizan los parámetros y , los cuales
sirven para expresar la forma en que varía la aceleración
a través del tiempo. Para el desarrollo de una familia de
métodos paso a paso en el tiempo Newmarck se basó en
las siguientes ecuaciones:
Los parámetros y
variación de la aceleración durante un paso de tiempo
y determinan además las características de estabilidad
y precisión del método. La selección típica de es de ½,
de vista, incluido el de precisión. Estas dos ecuaciones,
del paso de tiempo, proporcionan la base para calcular
en el tiempo i+1 a partir de
conocidas en el tiempo i.
El desarrollo matemático del algoritmo de
Newmark, se describe a continuación. Considerando
que sea y los vectores de respuesta de
aceleración de un sistema de n grados de libertad en los
tiempos discretos ti y ti+1 , ante acciones dinámicas y t el
t=1, se tiene que =0 y para
Siendo:
La aceleración del sistema para un instante
cualquiera , viene dada por:
De tal forma que:
En síntesis, se tiene que:
de las aceleraciones en el intervalo [ti y ti+1 ] es la misma
para los n grados de libertad.La velocidad del sistema
para un tiempo cualquiera del intervalo puede expresarse
como:
Se puede mencionar que y son
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20 Inca Balseca y col.
los vectores de velocidad y aceleración en los tiempos
discretos ti y ti+1 y respectivamente, son cantidades
constantes. Luego:
Sea:
i+1
De donde:
i+1
De donde:
Al despejar q i+1 de esta última ecuación, se tiene:
Luego:
Aplicación del Método de Newmark
El sistema de ecuaciones diferenciales que
el método de Newmark.
Donde M, C, K son las matrices de Masa,
Amortiguamiento y Rigidez del sistema.
Se consideran constantes para análisis lineal,
q,q,q son los vectores de desplazamiento, velocidad y
aceleración, respectivamente, J es un vector que contiene
unos para el caso plano, depende del modelo numérico de
análisis, a(t)es la aceleración de movimiento del suelo.
Normalmente se considera la componente horizontal [14].
Para el tiempo discreto ti+1
queda:
Por otra parte, el vector de desplazamientos en
forma incremental es
términos
Se denomina a K como la matriz de rigidez
efectiva, que es una matriz constante para análisis lineal y
a Fi+1 el vector de cargas efectivas, que es variable en cada
instante de tiempo.
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales
i+1.
Por lo tanto el vector de desplazamientos para
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21
Método dinámico lineal para la simulación de eventos sísmicos
el tiempo i+1 se obtendrá sumando estos valores a los
y velocidad para el tiempo i+1 se encuentran con las
Si en el tiempo t=0, la aceleración del suelo es
diferente de cero y si las condiciones iniciales q (0)=q(0)=0.
Se debe evaluar q (0) con la ecuación del movimiento que
queda:
En el caso de estudio se simulo un sismo de
mediana magnitud y corta duración ocurrido en la ciudad
Para la simulación se aplicó el método de análisis
tiempo-historia, que examina los resultados obtenidos
mediante el algoritmo de Newmark, se consideró que la
respuesta de la estructura corresponde al espectro del
estructura integrada por pórticos planos, donde cada nodo
posee tres grados de libertad: uno para el desplazamiento
horizontal, uno para el desplazamiento vertical y otro para
el desplazamiento horizontal obtenido mediante el
algoritmo implementado que se obtiene con ayuda de los
softwares de cálculo Estructural ETABS y MATLAB, con el
propósito de validar los resultados.
Materiales y Métodos
Ubicación
en la Universidad Técnica de Machala, Ecuador. La mayor
parte de sus instalaciones son bloques de aulas de tres
niveles con distribución y dimensiones muy similares,
construidos en la década del 70, con procedimientos y
cuenta de 4 niveles planta baja, primer piso, segundo piso
y cubierta, para el análisis se evaluaron tanto los pórticos
Figura 1.
Figura 1. Estructura evaluadas en universidad técnica de
Machala. a.- planta baja; b.- primer piso; c.- segundo piso
d.- cubierta
Pórtico longitudinal A y B
En la Figura 2 se puede apreciar que los pórticos
A y B tienen 20 nodos, 27 elementos y cuenta con 45
grados de libertad, debido a que es un pórtico plano con
3 grados de libertad por nodo, además de sus respectivas
dimensiones. Aunque los pórticos A y B tienen las mismas
dimensiones, sus cargas estáticas son diferentes ya que el
pórtico B tiene que soportar un volado de 2,30 m de ancho
y el pórtico A no tiene que soportar esas cargas.
Figura 2. Pórtico longitudinal A y B en bloques de aulas,
Universidad Técnica de Machala, Ecuador.
La carga en el pórtico A se distribuyó en los nodos
7, 8, 9, 10, 12, 13, 14 y 15 con una carga viva 2,41 Tn: una
carga muerta de 10,16 Tn y una carga total de 12,47 Tn,
en los nodos 6 y 11 la distribución de carga fue de 1,21
Tn para la carga viva; 8,66 Tn de carga muerta y una carga
total de 9,77 Tn, mientras que en los nodos 17,18,19 y 20
fue carga viva 0,85 Tn: una carga muerta de 8,82 Tn y una
en el nodo 16 fue de 0,42, 4,15 y 5,47 Tn paras las cargas
vivas, muerta y total respectivamente.
En el pórtico B se distribuyó en los nodos 7, 8, 9,
10, 12, 13, 14 y 15 con una carga viva 6,27 Tn: una carga
muerta de 14,88 Tn y una carga total de 21,87 Tn, en los
nodos 6 y 11 la distribución de carga fue de 3,14 Tn para
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22 Inca Balseca y col.
la carga viva; 10,87 Tn de carga muerta y una carga total
de 14,01 Tn, mientras que en los nodos 17,18, 19 y 20 fue
carga viva 1,40 Tn: una carga muerta de 10,69 y una carga
nodo 16 fue de 0,70, 6,60 y 7,30 Tn paras las cargas vivas,
muerta y total respectivamente.
Pórtico transversal 1 y 2
El análisis del comportamiento de la estructura
en el tiempo se va a desarrollar para los pórticos
transversales denominados 1 y 2, aplicando el mismo
método de Newmark y sometiendo a los pórticos al
“componente Norte” del acelerograma del sismo ocurrido
en Pedernales el 16 de Abril de 2016. El pórtico 1 tiene
las mismas dimensiones que el pórtico 2 pero sus cargas
estáticas son distintas, ya que el pórtico 1 está en el
Figura 3. Descripción de pórticos transversales
1 y 2 de bloques de aulas, Universidad Técnica de
Machala, Ecuador.
Descripción del sismo usado en la simulación
Para simular el sismo sobre la estructura
educativa, se hizo un acelorograma, usando como datos la
magnitud y duración del sismo que ocurrió a mediados del
año 2016 en la región de Pedernales, Ecuador.
Construcción de los acelorgramas
Con los datos correspondientes al sismo ocurrido
en Pedernales en 2016, se realizaron los acelorgarmas
velocidad y aceleración versus tiempo, además se
presenta los valores máximos de cada magnitud en la
dirección de cada grado de libertad y los instantes en que
Figura 4. Ejemplo de acelorgarma para simulación de
evento sísmico
Modelos usados en la simulación
Para calcular los despalzamientos horizontales se
emplearon los modelos matemáticos ETABS (versión
dimensionar y comprobar estructura de diferentes
materiales, asi como determinar el comportamiento
evento sísmico.Matlab es un lenguaje de programación
vectoriales y matriciales, es apropiado para el caso de
las señales sísmicas donde la frecuencia de muestreo es
permite el procesamiento digital de señales para realizar
la la lectura automática de las señales sísmicas: fase P, fase
S, periodo, amplitud y duración y así vectorizar los datos
Algoritmo de Newmark
El procedimiento de cálculo, para el análisis
[14]:
Se determina la matriz de rigidez efectiva.
Para el instante de tiempo i+1 se determina el
vector de cargas efectivo.
Se obtiene el incremento de desplazamiento para
el tiempo i+1, para ello se debe resolver el sistema de
ecuaciones lineales:
Se calculan la aceleración, velocidad y
desplazamiento en el incremento de tiempo i+1.
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Método dinámico lineal para la simulación de eventos sísmicos
Se actualizan desplazamientos, velocidades y
aceleraciones y se pasa al próximo punto desde el paso i.
Modelo ETABS y Matlab
Análisis de los datos
Se calcularon los desplazamiento horizontales en
los pórticos longitudinales A y B y en los transversales 1 y
2, en cada uno de los niveles de la estructura, usando los
modelos ETABS y MATLAB, se calculó el error relativo de
cada modelo comparado con los valores obtenido por el
algoritmo de Newmark
Resultados y Discusión
Comparación del pórtico A.
Se comparó el desplazamiento horizontal de
la estructura en los 4 niveles, usando el algoritmo de
Newmark con los programas ETABS y Matlab, observando
que las mayores diferencias en el pórtico longitudinal A,
se encuentra en los niveles 1 y 2, mientras que los errores
más bajo se observaron en la planta baja y a nivel de la
Tabla 1. Comparación de desplazamiento horizontal
obtenidos en ETABS y Matlab pórtico A.
Desplazamiento X
ETABS Matlab Error Relativo
CUBIERTA 0,033859 0,03 11,40
2 PA 0,027411 0,02 27,04
1 PA 0,014121 0,01 29,18
PB 0 0 0
Comparación del pórtico B.
En el pórtico longitudinal B, la tasa de error
al comparar el algoritmo de Newmart con los modelos
ETABS y Matlab fue menor a lo encontrado en el pórtico
A, aunque se mantuvo la misma tendenciaal encontrar
el mayor error relativo en los niveles 1y 2, mientras que
la tasa de error disminuyo en la planta baja y la cubierta
Tabla 2. Comparación de desplazamiento horizontal
obtenidos en ETABS y Matlab pórtico B.
Desplazamiento X
ETABS Matlab Error Relativo
CUBIERTA 0,050089 0,05 0,18
2 PA 0,040251 0,04 0,62
1 PA 0,020661 0,02 3,20
PB 0 0 0
deben tomar en cuenta cuando los desplazamientos son
mayores un 4.8%, como ocurrió en el caso del pórtico
y cuente con un número considerable de entrepisos, las
diferencias serán mayores en cuanto a los elementos
mecánicos evaluados y la vulnerabilidad sísmica se
incrementa.
Comparación del pórtico 1.
En los pórticos transversales la tasa de error
se incrementó considerablemente en comparación a
los pórticos longitudinales, el error relativo más alto se
observó en la segunda planta, mientras que la menor tasa
de error correspondió a la planta baja y al primer nivel con
valores de 0 y 9,27 % respectivamente, a diferencia de lo
observando en los pórticos longitudinales A y B, la tasa de
Tabla 3. Comparación de desplazamiento horizontal
obtenido en ETABS y Matlab pórtico 1.
Desplazamiento X
ETABS Matlab Error Relativo
CUBIERTA 0,024269 0,02 17,59
2 PA 0,018872 0,01 47,01
1 PA 0,009152 0,01 9,27
PB 0 0 0
Comparación del pórtico 2.
En el pórtico transversal B se observó un
comportamiento distinto lo reportado en los pórticos
longitudinales A y B y el pórtico transversal 1, en este caso
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no se observó desplazamiento en la planta baja, pero se
evidenció que no existieron diferencias al comparar el
Tabla 4. Comparación de desplazamiento horizontal
obtenidos en ETABS y Matlab pórtico 2.
Desplazamiento X
ETABS Matlab Error Relativo
CUBIERTA 0,039825 0,03 24,67
2 PA 0,027548 0,02 27,40
1 PA 0,013859 0,01 27,84
PB 0 0 0
En todos los casos evaluados en la estructura
de aula los valores de desplazamiento más alto se
encontraron al aplicar el modelo ETABS, mientras que
cuando se aplicó el modelo Matlab se obtuvieron valores
cercanos al encontrado con el algoritmo de Newmark.
Como lo reporta [15] cuando el error relativo
supera el 5 % como lo observado en los pórticos
transversales 1 y 2, el modelo lineal no se ajusta
adecuadamente, este error se incrementa a medida
que la estructura posea más pisos, en tal sentido [16]
propusieron el modelo no lineal de Bouc-Wen-Baber-Noori
bajo movimientos sísmicos, estos autores encontraron
que el modelo dinámico no lineal propuesto se ajusta bien
a la respuesta experimental bajo cargas aleatorias y es
estructuralmente robusto para el análisis sísmico no lineal
de las viviendas.
Conclusiones
El algoritmo Newmark lineal que se empleó en el
método Tiempo-Historia brinda resultados muy cercanos
a los obtenidos con los programas computacionales
ETABS y MATLAB, sin embargo hay que considerar
que no se tomaron en cuenta algunos elementos que
aportan a la rigidez lateral de la estructura, entre ellos, la
proporcionada por la mampostería.
La mayor diferencia entre el algoritmo Newmark
y los programas computacionales se encontraron en los
niveles más alto de la estructura, mientras que la menor
tasa de error fue observada a nivel de la planta baja y la
cubierta, lo cual obliga a un ajuste de los modelos, dado
que hoy día dado al aumento de la densidad de población
La diferencia de cálculo fue superior en
los pórticos transversales al compararse con los
longitudinales, por lo que se deben realizar los ajustes
de cálculo para poder aplicar de forma homogénea la
modelización en todos los componentes de la estructura
evaluada.
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DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
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www.serbi.luz.edu.ve
www.produccioncientica.luz.edu.ve
Esta revista fue editada en formato digital y publicada
en Febrero de 2020, por el Fondo Editorial Serbiluz,
Universidad del Zulia. Maracaibo-Venezuela
Volumen Especial, 2020, No. 1, pp. 03 - 55_________________
