ppi 201502ZU4659
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climática.
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Zuliano Victor Valera.
VOLUMEN ESPECIAL 2019 No.1
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, 255-262
Comparison of performance measures in non-Markovian
queues.
Lagos Dafne , Mancilla Rodrigo , Leal Paola
Departamento de Procesos Industriales, Facultad de Ingeniería, Universidad Católica de Temuco, Rudecindo
Ortega # 02950, Temuco, Chile.
*Autor Contacto: dlagos@uct.cl
https://doi.org/10.22209/rt.ve2019a16
Recepción: 20/06/2019 | Aceptación: 03/11/2019 | Publicación: 01/12/2019
Abstract
Systems that involve waiting before attention are framed within the Theory of queues. This work seeks to compare
performance measures in non-Markovian queues. For this, single-tail systems were simulated, which were formed from the
combinations of time distributions between arrivals (normal, lognormal, Weibull or triangular), their parameters (Test 1,
Test 2 or Test 3), and the distributions of service times (constant or triangular). Some results show that when comparing
each performance measure individually, for systems that maintain constant arrival parameters, service distributions, and
vary the distribution of time between arrival, their joint behavior is statistically different. On the other hand, the systems that
included normal or uniform input distributions, setting the distribution parameters with one or two standard deviations
statistically equal values. In the case of the systems that included the parameters with the highest standard deviation and
the lognormal and Weibull, or lognormal and uniform distributions, they presented statistically similar behavior in three of
four performance measures.
Keywords:
Comparación de las medidas de desempeño en Colas no
Markovianas
Resumen
Los sistemas que implican una espera antes de la atención se enmarcan dentro de la Teoría de colas. Este trabajo
busca comparar las medidas de desempeño en colas no markovianas. Para ello se simularon sistemas de cola única, que se
conformaron a partir de las combinaciones de las distribuciones de tiempos entre llegadas (normal, lognormal, Weibull o
triangular), sus parámetros (Prueba 1, Prueba 2 o Prueba 3), y las distribuciones de los tiempos de servicio (constante o
triangular). Algunos resultados muestran que al comparar individualmente cada medida de desempeño, para sistemas que
mantienen constante los parámetros de llegadas, las distribuciones de servicio, y varían la distribución de tiempos entre
llegada, su comportamiento conjunto es estadísticamente distinto. Por su parte, los sistemas que incluyeron distribuciones
y la distribución de servicio, mostraron que en la evaluación de cada medida de desempeño particular, tenían valores
estadísticamente iguales. En el caso de los sistemas que incluían los parámetros con la mayor desviación estándar y las
distribuciones lognormal y Weibull, o lognormal y uniforme, presentaron comportamiento estadísticamente similar en tres
de cuatro medidas de desempeño.
Palabras clave:
No.1
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
256 Lagos y col.
Introducción
Según Liu et al. [1], la teoría de colas es una
teoría matemática del sistema de servicio estocástico.
Por su parte, Hamdan et al [2] indican que la teoría de
colas es una rama del conocimiento en la investigación de
operaciones que se refiere al análisis de colas cuando un
cliente llega a un centro de servicio y debe hacer cola en
una línea para obtener algún servicio. Hay muchas formas
posibles de clasificar los sistemas de colas, por ejemplo,
según el tipo de proceso de entrada (Poisson, k Erlang, etc.),
la disciplina de servicio (FCFS, LCFS, colas de prioridad,
etc.), la capacidad de la cola destinado a clientes en espera
(sistemas que no permiten esperar el servicio, la capacidad
finita o la capacidad infinita de la cola) y así sucesivamente
[3]. Dada la naturaleza del sistema que analiza un modelo
de cola, la variedad de temáticas particulares en los que
se aplica es amplia. Entre ellas, es posible mencionar
aplicaciones como: sistemas de producción controlado por
Kanban [4], análisis de topologías de redes complejas [5],
optimización de la gestión de una farmacia ambulatoria
[6], asignación óptima de canales de los sistemas de colas
del Sistema Integrado de Defensa de Misiles Balísticos
en capas (BMDS) [1], evaluación del rendimiento en
sistema firewall de redes móviles [7], mejorar el sistema
de atención al cliente en el mostrador de pagos en una
cooperativa escolar [2]. El estudio matemático de las
líneas de espera se ocupa principalmente de las medidas
de rendimiento de la cola [8]. Las medidas de desempeño
(o rendimiento) típicas son la longitud promedio de la cola
(Lq) y el tiempo de espera promedio (Wq) [9], además
de la longitud promedio de clientes en el sistema (L) y el
tiempo de espera promedio en el sistema (W). También es
posible establecer medidas como es la longitud de la cola
de equilibrio esperada y la probabilidad de estado estable
de que un cliente tendrá que esperar para comenzar su
servicio [10]. En condiciones generales, las medidas de
desempeño se analizan suponiendo que los tiempos
entre llegadas de los clientes o los tiempos de servicio
son aleatorios, típicamente llegadas de Poisson y tienen
tiempos de servicio con distribución exponencial [11].
Ahora bien, en el contexto real, esta suposición
no se cumple en muchos casos. Esto lleva a que, en algunos
modelos de colas, sea necesario modelar el proceso de
entrada y el proceso de servicio. Sin embargo, uno de
los problemas más desafiantes es determinar el proceso
de entrada y la distribución del tiempo de servicio en la
práctica [12]. Cuando un sistema de espera no tiene una
contraparte, definida en la literatura, para estudiar sus
discretos (DES, por sus siglas en inglés) pasa a ser
herramienta de análisis efectiva. DES es una evolución
de la simulación de Montecarlo, donde se aplican
herramientas matemáticas y estadísticas, para realizar
corridas de simulación de una variable probabilística [13].
Por lo general, el objetivo de la simulación de eventos
discretos es observar la respuesta del sistema a posibles
alteraciones, anticipar escenarios futuros y determinar la
mejor alternativa en función al objetivo del sistema [14].
Debido a lo anterior, en este trabajo se busca analizar
comparativamente el comportamiento resultante de las
medidas de desempeño, como los tiempos promedio y
cantidad de clientes promedio en un sistema de colas, al
variar la naturaleza de la distribución de probabilidad de
la llegada de clientes y la distribución de los tiempos de
servicio, en sistemas específicos no markovianos. Para
recrear el comportamiento de las medidas de desempeño,
se utiliza la simulación de eventos discretos. De acuerdo a
ello este artículo está organizado de la siguiente manera:
la sección 2 ofrece una descripción general de trabajos
anteriores relativos a los análisis y técnicas aplicadas para
el estudio de los sistemas de colas. La sección 3 describe
la metodología y los supuestos considerados. En la sección
4 se presentan y analizan los resultados obtenidos.
Finalmente, la sección 5 entrega las conclusiones.
En relación a la evolución de los análisis y técnicas
aplicadas para el estudio de los sistemas de colas es posible
mencionar, entre otros, los trabajos de: Zhang & Hou [15],
quienes analizaron una cola M/G/1 con vacaciones de
trabajo e interrupción de vacaciones. Usaron el método
de una variable suplementaria y el método analítico-
matricial, y obtuvieron la distribución de la longitud de
la cola y el estado del servicio en una época arbitraria en
condiciones de estado estacionario.
Alves et al. [16] presentaron un método mejor
a las relaciones tabuladas para distintos casos. Se busca
calcular los límites superiores de rendimiento del número
promedio en la cola y el tiempo promedio de espera
en sistemas Markovianos heterogéneos de servidores
múltiples. Además, correlacionaron la calidad de la
aproximación con el grado de heterogeneidad del sistema.
Zhang & Hou [17] obtuvieron la distribución de la longitud
de la cola con el método de variable suplementaria,
combinado con el método analítico-matricial y la técnica
de censura. También lograron la distribución del tamaño
del sistema en la época previa a la llegada. Para su estudio
consideraron una la cola MAP/G/1 con vacaciones de
trabajo e interrupción de vacaciones.
Ma et al. [18] usaron un proceso de nacimiento
y muerte, y generaron las distribuciones de probabilidad
de la longitud de la cola estacionaria y el tiempo de espera
en el modelo de cola Geom/Geom/1 con probabilidad de
entrada variable. También construyeron información de
casos especiales del modelo estudiado, considerando la
aplicación de diferentes distribuciones de probabilidad
de entrada, que condujeron a varios modelos de colas
específicos conocidos. Luo et al. [19] utilizaron la teoría
de descomposición de probabilidad y el proceso de
renovación, para estudiar: i) el sistema de llegada tardía
con acceso retrasado (LAS-DA) y ii) el sistema de llegada
temprana (EAS), a partir de una cola Geo/G/1 de tiempo
discreto con vacaciones aleatorias. Para ambos casos,
obtuvieron una solución recursiva para la distribución
de longitud de la cola en forma arbitraria. Además,
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
257Comparación del desempeño de Colas no Markovianas.
se presentaron varias medidas de rendimiento, como
la probabilidad potencial de bloqueo, el período de
encendido, la duración promedio de la cola, entre otras.
Li et al.[20] estudiaron una cola M/M/1 con
interrupción de vacaciones de trabajo. Para su análisis
consideraron que, si a la llegada de un cliente el servidor
está ocupado, este cliente se uniría a la órbita de
tamaño infinito. Los clientes en la órbita intentarán ser
atendidos uno por uno cuando el servidor esté inactivo.
En estado estable, obtienen las funciones generadoras de
probabilidad del número de clientes en la órbita. También
desarrollaron varias medidas de rendimiento del sistema.
Li et al. [21] consideraron un modelo de
aproximación de una red de colas M/M/n/m-FCFS, que
se desarrolló para maximizar la utilización y las ganancias
mediante el análisis del tiempo de cola y la longitud de la
cola de los productos bajo las condiciones de restricción.
En su estudio, aplicaron una metaheurística híbrida para
resolver el modelo de aproximación logrando determinar
la tasa de servicio y la asignación de la memoria intermedia
del sistema de red en cola. Para la evaluación de la
efectividad del método propuesto, compararon resultados
experimentales numéricos extensos del modelo de
aproximación con simulación de eventos discretos en el
software Arena. Madankan [22] tomó en consideración
una clase general de un sistema de colas con múltiples
tipos de trabajo y facilidad de servicio flexible. Además
utilizó una política de control estocástico para determinar
la pérdida de rendimiento en la cola M/M/1 de varias
clases. En su base el sistema considerado es originalmente
un proceso de decisión de Markov (MDP). Su estudio
mostró que los límites óptimos de la longitud promedio
de la cola para cualquier política no inactiva se pueden
encontrar por un factor de las tasas de servicio.
Materiales y Métodos
Distribución de probabilidad
En un sistema de colas no markoviano, es decir,
cuando los tiempos entre llegadas y/o los de servicio
no tengan distribuciones exponenciales [23], es básico
conocer la naturaleza de la distribución, para lograr
generar las medidas de desempeño del sistema. Para
efectos del análisis que se realizará en este documento, se
trabajará con las distribuciones: i) Normal, ii) Weibull, iii)
Uniforme, iv) Lognormal, y v) Triangular.
La distribución normal es una distribución de
tipo continua, con función de densidad de probabilidad
dada por la ecuación (1):
(1)
donde µ es la media, s2 es la varianza de la distribución, π
= 3.14159, e = 2.71828.
La distribución de probabilidad normal queda
de valores de la media y la varianza. Si la media es cero y
la varianza es uno, entonces se habla de una distribución
normal estándar o típica.
La distribución Weibull, al igual que la
distribución normal, es una distribución de tipo continua,
con función de densidad de probabilidad dada por la
ecuación (2):
(2)
donde α > 0 y β > 0 son parámetros de la función.
A su vez, la media µ y la varianza s2se presentan
en el conjunto de ecuaciones (3):
(3)
La distribución uniforme se caracteriza por
que cada elemento xi presenta la misma probabilidad.
Esta distribución presenta un comportamiento discreto
y también uno de tipo continuo. En el caso continuo, su
función de densidad de probabilidad está dada por la
ecuación (4):f
(4)
donde los valores de A y B, representan los valores
extremos que puede tener la variable xi.
La media µ y la varianza s2 se obtiene de la
ecuación (5):
(5)
La distribución lognormal es una distribución
de tipo continua, con función de densidad de probabilidad
dada por la ecuación (6):
(6)
La media µ y la varianza s2 se obtiene de la
ecuación (7):
(7)
La distribución triangular es una distribución de
tipo continua, con función de densidad de probabilidad
dada por la ecuación (8):
(8)
La media µ y la varianza s2 se obtiene de la
ecuación (9):
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
258 Lagos y col.
(9)
Simulación de la cola
Para la generación de un sistema de colas,
se requiere establecer la cantidad de servidores que
prestarán el servicio, la configuración de estos servidores
(serie o paralelo), la política de atención de los clientes
en la cola, y el tamaño de la cola. Además, se debe contar
con la distribución de probabilidad de los tiempos entre
llegadas de los clientes al sistema, y la distribución de
probabilidad de los tiempos de servicio. El caso de análisis
se basa en un sistema de atención telefónica de clientes,
donde los clientes que requieren de servicio acceden a una
cola de espera única e infinita, y son seleccionados para
ser atendidos de acuerdo a una política de atención FIFO
(primero en llegar, primero en ser atendido). El objeto del
estudio es poder comparar el resultado de las medidas
de desempeño, al variar la naturaleza de la distribución
de probabilidad de la llegada de clientes y la distribución
de los tiempos de servicio, donde las distribuciones
de probabilidad consideradas son no markovianas. Se
estudian 4 distribuciones no markovianas, formuladas a
partir del mismo conjunto de datos para iniciar el proceso
con distribuciones que contienen media y varianza
equivalentes. Las características de las distribuciones de
entrada y de servicio que serán utilizadas en el análisis,
son presentadas en la Tabla 1 y Tabla 2 respectivamente.
Tabla 1. Características de la distribución de
probabilidad de la llegada de clientes.
Distribución de probabilidad de la
llegada de clientes (minutos)
Parámetros
Prueba 1 (1s)Prueba 2 (2s) Prueba 3 (3s)
Normal µ=0,53; s=0,145 µ=0,53; s=0,145 µ=0,53; s=0,435
Lognormal µ=0,53; s=0,145 µ=0,53; s=0,29 µ=0,53; s=0,435
Uniforme a=0,27; b=0,77 a=0,26; b=1,03 a=0,21; b=1,27
Weibull α=3,77; β=0,56 α=2,96; β=0,88 α=4,94; β=2,07
En la Tabla 1, el concepto de Prueba 1, 2 ó 3, implica tomar en consideración el mismo valor de la media µ para
es equivalente a decir que en esta prueba la desviación
estándar es dos veces su valor inicial (Prueba 1). El caso
Tabla 2. Características de la distribución de
probabilidad de los tiempos de servicio.
Distribución de
probabilidad (minutos) Parámetros
Constante µ=27,5; s=0
Triangular a=6; moda=27,5; b=49
La simulación del sistema de cola se llevará
a cabo a través de simulación de eventos discretos, y se
utilizará el Software Simio versión 10. Se estudiarán como
sistemas de colas, distintas combinaciones de distribución
de llegada – parámetros de prueba y distribución de
servicio. Esto genera veinticuatro sistemas de colas
distintas.
Resultados y Discusión
El análisis inicial de los datos de simulación para
la distribución de los tiempos entre llegadas de clientes,
en los casos de 2s y 3s (prueba 2 y 3), para la distribución
Normal presentó valores de tiempo negativos. Estos
valores no son aplicables al sistema en estudio. Debido a
ello, se consideró el valor máximo de desviación estándar
posible, sin que la distribución Normal arroje valores de
tiempo negativos. El resto de los factores se mantuvo
igual. Los valores ajustados de la distribución normal,
según las condiciones iniciales descritas en la Tabla 1, son
presentados en la Tabla 3.
Tabla 3. Valores ajustados de las condiciones de entrada
de la distribución normal.
Tiempo entre
llegada de
clientes (minutos)
Parámetros
Prueba 1 (1s)Prueba 2 (2s)Prueba 3 (3s)
Normal µ=0,53; s=0,145 µ=0,53; s=0,16µ=0,53; s=0,16
establecido en las Tablas 1, 2 y 3, es mostrado en la Figura
1.
Figura 1. Valores promedio de la cantidad de clientes
que llegan al sistema.
El comportamiento gráfico del promedio de
la llegada de clientes, tomando en consideración lo
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
259Comparación del desempeño de Colas no Markovianas.
Figura 3. Valores del tiempo promedio de los clientes en
el sistema, cuando los servidores presentan distribución
constante, y cuando presentan distribución triangular.
El resultado del test Anova, con alfa = 5%, para
comparar la cantidad promedio de llegadas según el tipo
de distribución utilizada, al cambiar la varianza pero
utilizando el mismo valor medio (prueba 1, 2 y 3) arrojó el
rechazo de la hipótesis H0 en todos los casos, y por tanto,
el comportamiento de las medias no es equivalente para
todas las distribuciones. Debido a ello, se aplica el Análisis
HSD Tukey, con alfa = 5%, para identificar si existen pares
de distribuciones que presenten un comportamiento
similar. En el caso donde se aplicó la Prueba 1 y la Prueba
2, se observó que las distribuciones Normal y Uniforme se
comportan de forma similar en sus valores medios. En el
caso de la Prueba 3, todas las distribuciones se comportan
de forma diferente.
En la Figura 2, se muestra el comportamiento del
tiempo promedio en cola (Wq), mientras que en la Figura
3, se presenta el tiempo promedio en el sistema (W). Para
ambas figuras, las condiciones generales aplicada son las
indicadas en las Tablas 1, 2 y 3.
Figura 2. Valores del tiempo promedio de los clientes
en la cola, cuando los servidores presentan distribución
constante, y cuando presentan distribución triangular.
La aplicación del test Anova para comparar
el comportamiento del tiempo promedio en cola (Wq),
de acuerdo a la distribución de llegada, cuando se fija
la distribución del tiempo de servicio en Constante o
Triangular, y los parámetros de prueba en 1, 2 ó 3, indicó el
rechazo de la hipótesis H0, y por tanto que en cada grupo el
tiempo promedio no se comporta de manera equivalente.
Luego, en la tabla 4, se entrega la identificación de
aquellos sistemas que presentan comportamiento similar,
resultado del Análisis HSD Tukey, con alfa = 5%.
El resultado del test Anova para comparar el
comportamiento del tiempo promedio en el sistema
(W), de acuerdo a la distribución de llegada, cuando se
fija la distribución del tiempo de servicio en Constante o
Triangular, y los parámetros de prueba en 1, 2 ó 3, indicó
el rechazo de la hipótesis H0, para cada grupo, con lo
que el tiempo promedio en el sistema no se comporta
de manera similar. Los resultados de la comparación de
sistemas equivalente, según el análisis HSD Tukey con
alfa = 5%, para el tiempo promedio en el sistema, tienen
el mismo comportamiento que los resultados del tiempo
promedio en la cola, mostrados en la Tabla 4.
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
260 Lagos y col.
Figura 5. Valores de la cantidad promedio de clientes en
el sistema, cuando los servidores presentan distribución
constante, y cuando presentan distribución triangular.
Figura 4. Valores de la cantidad promedio de clientes
en la cola, cuando los servidores presentan distribución
constante, y cuando presentan distribución triangular.
Tabla 4. Resultado del análisis HSD Tukey para el tiempo
promedio en la cola según tipo de distribución de entrada
y servicio.
Distribución
de servicio Prueba Distribución de llegada
Constante
Prueba 1 Normal - Uniforme
Prueba 2
Normal - Uniforme
Lognormal - Weibull
Prueba 3 Lognormal - Weibull
Lognormal - Uniforme
Triangular
Prueba 1 Normal - Uniforme
Prueba 2 Normal - Uniforme
Lognormal - Weibull
Prueba 3 Lognormal - Weibull
En la Figura 4, se muestra el comportamiento de
la cantidad promedio de clientes en la cola (Lq), mientras
que en la Figura 5, se presenta la cantidad promedio
de clientes en el sistema (L). Para ambas figuras, las
condiciones generales aplicada son las indicadas en las
Tablas 1, 2 y 3.
La aplicación del test Anova para comparar el
comportamiento de la cantidad promedio de clientes
en la cola (Lq) de acuerdo a la distribución de llegada,
cuando se fija la distribución del tiempo de servicio en
Constante o Triangular, y los parámetros de prueba
en 1, 2 ó 3, indicó el rechazo la hipótesis H0 para todos
los grupos, por tanto estos no presentan el mismo
comportamiento. Los resultados del Análisis HSD Tukey,
con alfa = 5%, coinciden con los resultados del tiempo
promedio en la cola (Wq), salvo en el grupo que presenta
el servicio constante y distribución de llegada bajo los
datos de la Prueba 3. Para el caso de cantidad de clientes
en cola, su número promedio es equivalente cuando las
distribuciones de entrada son: i) lognormal o Weibull, ii)
lognormal o uniforme, o bien iii) Weibull o uniforme. Esta
última combinación no presenta el mismo desempeño al
medir el tiempo promedio en cola.
Por su parte, la información obtenida del test
Anova para comparar el comportamiento de la cantidad
promedio de clientes en el sistema (L), de acuerdo a la
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
261Comparación del desempeño de Colas no Markovianas.
distribución de llegada, cuando se fija la distribución
del tiempo de servicio en Constante o Triangular, y los
parámetros de prueba en 1, 2 ó 3, indicó rechazar la H0,
y por tanto, que todos los grupos no tiene el mismo valor
promedio. En la tabla 5, se identifican aquellos sistemas
que presentan comportamiento similar, como resultado
de Análisis HSD Tukey, con alfa = 5%.
Tabla 5. Resultado del análisis HSD Tukey para la
cantidad promedio de clientes en el sistema según tipo de
distribución de entrada y servicio.
Distribución de
servicio Prueba Distribución de llegada
Constante o
Triangular
Prueba 1 Normal - Uniforme
Prueba 2 Normal - Uniforme
Prueba 3 Lognormal - Uniforme
De acuerdo a la Tabla 5, al comparar los dos casos
de distribución de servicio, los pares de distribuciones de
llegadas según las condiciones particulares de entrada
son idénticos para ambos.
Finalmente, se realizó un análisis Anova para
las medidas de desempeño, al comparar los distintos
servicios, para la misma distribución específica de
entrada. Con alfa de 5%, se establece que hay diferencia
significativa entre las medias de cada grupo en estudio.
Conclusiones
Para el proceso de estudio de las medidas de
desempeño (W, Wq, L, Lq) se simularon sistema de cola
única, que se conformaron a partir de las combinaciones
de las distribuciones de llegada, los parámetros de dichas
distribuciones, y las distribuciones de los tiempos de
servicio. Para ello, se establecieron 4 distribuciones de
tiempos entre llegadas distintas: normal, lognormal,
diferentes para las distribuciones de llegada: Prueba
Prueba 3 con media
para los tiempos de servicio: distribución constante y
distribución triangular. Con ellos se generaron 24 modelos
particulares de cola no Markoviana. Las conclusiones del
comportamiento de las medidas de desempeño para los
modelos desarrollados se pueden expresar como sigue:
a) Al comparar el tiempo promedio en cola (Wq),
para sistemas que mantienen constante los parámetros de
las llegadas y las distribuciones de servicio, y se hace variar
la distribución de tiempos entre llegada, se determina
que su comportamiento en conjunto es estadísticamente
distinto. Lo mismo sucede para las medidas W, L y Lq.
b) Al estudiar en pares los sistemas de colas que
presentaban un comportamiento estadísticamente igual
en el mismo tiempo promedio en el sistema (W), cuando
se varia la distribución de entrada, manteniendo constante
los parámetros de la distribución, y la distribución de
servicio, se determinó que al aplicar los parámetros de la
Prueba 1, las distribuciones normal y uniforme presentan
el mismo comportamiento. Si se consideran los parámetros
de la Prueba 2, las distribuciones normal y uniforme,
y las distribuciones lognormal y Weibull presentan
el mismo resultado. Finalmente, si se consideran los
parámetros de la Prueba 3, las distribuciones lognormal
y Weibull, entregan los mismos valores. Sin embargo, las
distribuciones lognormal y uniforme, también entregan
un valor equivalente para W, al aplicar los parámetros de
la Prueba 3, pero solo en el caso de tener una distribución
constante en el tiempo de servicio. Estos resultados se
repiten al hacer las mediciones del tiempo promedio en
cola (Wq).
c) Al analizar la cantidad promedio de clientes en
la cola (Lq) y establecer los pares en los sistemas de colas
que presentaban un comportamiento estadísticamente
igual, se obtuvo que las relaciones son las mismas que se
encontraron para W y Wq, salvo en las colas que incluían
una distribución de servicio constante, y los parámetros
de llegada de la Prueba 3. En este caso, las colas que
presentan distribuciones de llegadas lognormal y Weibull,
o lognormal y uniforme, o bien, Weibull y uniforme, se
comportan estadísticamente iguales.
d) Al contrastar los valores promedio de
clientes en el sistema (L) y buscar los pares de sistemas
que presentan el mismos comportamiento, se determinó
que al aplicar la Prueba 1 o Prueba 2, ellos son los que
incluyen distribuciones normal y uniforme para los
tiempos entre llegadas. Si se aplica la Prueba 3, entonces
las distribuciones son la lognormal y la uniforme. Este
resultado es independiente de la distribución del tiempo
de servicio que se tomen en cuenta.
Al comparar la cantidad promedio de llegadas
según el tipo de distribución se observó que las cuatro
distribuciones en conjunto no presentan el mismo
comportamiento en términos estadísticos. Sin embargo,
para los sistemas que incluían los parámetros de la Prueba
1 o Prueba 2, se estableció que las distribuciones normal y
uniforme se comportaron de modo equivalente.
Al comparar las distintas distribuciones de
medias de cada grupo en estudio.
[1] Li L., Liu F., Long G., Zhao H. y Mei Y.: Performance
analysis and optimal allocation of layered defense
M/M/N queueing systems. Math. Probl. Eng., Vol.
2016 (2016).
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154-262
262 Lagos y col.
[2] Hamdan A.R., Ishak R. y Usop M.F.: Effective school
cooperative-mart queuing system. Malaysian J.
Fundam. Appl. Sci., Vol. 13, No. SI (2017) 412–
415.
E-r/E-s/1/m queuing system subject to disasters.
Acta Polytech. Hungarica, Vol. 12, No. 2 (2015)
141–158.
[4] Al-Hawari T., Aqlan F. y Al-Araidah O.: Performance
analysis of an automated production system with
queue length dependent service rates. Int. J.
Simul. Model., Vol. 9, No. 4 (2010) 184–194.
[5] Khalid R., Nawawi M.K.M., Kawsar L.A., Ghani
N.A., Kamil A.A. y Mustafa A.: A discrete event
simulation model for evaluating the performances
of an M/G/C/C state dependent queuing system.
Plos One, Vol. 8, No. 4 (2013).
[6] Bahadori M., Mohammadnejhad S.M., Ravangard
R. y Teymourzadeh E.: Using queuing theory and
simulation model to optimize hospital pharmacy
performance. Iran. Red Crescent Med. J., Vol. 16,
No. 3 (2014).
[7] Xuan S., Man D., Zhang J., Yang W. y Yu M.:
Mathematical Performance evaluation model for
Commun. Mob. Comput., Vol. 2018, (2018).
[8] Bishop S.A., Eke K.S., Agarana M.C. y Olanrewaju
M.O.: Mathematical analysis of the queuing system
and application. Int. J. Adv. Appl. Sci., Vol. 6, No. 5
(2019) 67–69.
[9] Rangel Martinez L. y Alvarado Valencia J.A.:
The consequences of heavy-tailed service time
distribution on a basic queuing model and its
performance indicators. Ing. E Investig., Vol. 30,
No. 2 (2010) 136–146.
[10] Kambo N.S., Rangan A. y Moghimihadji E.:
Approximations to performance measures in
queuing systems. South African J. Ind. Eng., Vol.
23, No. 3 (2012) 30–41.
[11] He D., Li R., Huang Q. y Lei P.: Maximum entropy
principle based estimation of performance
distribution in queueing theory. Plos One, Vol. 9,
No. 9 (2014).
[12] Li C., Okamura H. y Dohi T.: Parameter estimation
of M-t/M/1/K queueing systems with utilization
data. IEEE Access, Vol. 7, (2019) 42664–42671.
[13] Carillos J.A.C., Núñez E.D.R. y Ledesma J.D.F.:
Aplicación de un modelo de simulación discreta
en el sector del servicio automotor. Rev. Ing. Ind.,
Vol. 1, No. 1 (2013) 51–61.
[14] Aboul-Hassan A.K., Rabia S.I. y Taboly F.A.:
Performance evaluation of a discrete-time
Geo([X])/G/1 retrial queue with general retrial
times. Comput. Math. With Appl., Vol. 58, No. 3
(2009) 548–557.
[15] Zhang M. y Hou Z.: Performance analysis of M/G/1
queue with working vacations and vacation
interruption. J. Comput. Appl. Math., Vol. 234, No.
10 (2010) 2977–2985.
[16] Alves F.S.Q., Yehia H.C., Pedrosa L.A.C., Cruz F.R.B.
y Kerbache L.: Upper bounds on performance
measures of heterogeneous M/M/c queues. Math.
Probl. Eng., (2011).
[17] Zhang M. y Hou Z.: Performance analysis of
MAP/G/1 queue with working vacations and
vacation interruption. Appl. Math. Model., Vol. 35,
No. 4 (2011) 1551–1560.
[18] Ma Z., Yue W. y Su X.: Performance analysis of a
GEOM/GEOM/1 queueing system with variable
input probability. J. Ind. Manag. Optim., Vol. 7, No.
3 (2011) 641–653.
[19] Luo C., Tang Y., Chao B., y Xiang K.: Performance
analysis of a discrete-time Geo/G/1 queue with
randomized vacations and at most J vacations.
Appl. Math. Model., Vol. 37, No. 9 (2013) 6489–
6504.
[20] Li T., Zhang L. y Gao S.: Performance of an M/M/1
retrial queue with working vacation interruption
and classical retrial policy. Adv. Oper. Res., (2016).
[21] Li C., Zhang J. y Li B.: Performance analysis and
optimization of queueing network production
systems considering non-conforming products
rework and departure. J. Adv. Mech. Des. Syst.
Manuf., Vol. 12, No. 2, (2018) 1–15.
[22] Madankan A.: Performance bounds and
suboptimal policies for multi-class queue. Bull.
South Ural State Univ. Ser. Math. Model. Program.
Comput. Softw., Vol. 12, No. 1 (2019) 44–54.
[23] Hillier F. and Lieberman G.: Introducción a la
Investigación de Operaciones, 9th. McGraw-Hill
Education, Mexico, 2010.
REVISTA TECNICA
DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
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Esta revista fue editada en formato digital y publicada
en Diciembre de 2019, por el Fondo Editorial Serbiluz,
Universidad del Zulia. Maracaibo-Venezuela
Volumen Especial, 2019, No. 1, pp. 154 - 262_______________
