Revista
de la
Universidad
del Zulia
Fundada en 1947
por el Dr. Jesús Enrique Lossada
DEPÓSITO LEGAL ZU2020000153
ISSN 0041-8811
E-ISSN 2665-0428
Ciencias del
Agro,
Ingeniería
y Tecnología
Año 14 N° 39
Enero - Abril 2023
Tercera Época
Maracaibo-Venezuela
REVISTA DE LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA. 3ª época. Año 14, N° 39, 2023
A. J. Bonilla Pinto & C. J. Gomes Ansia /// Validación de las matrices de rigidez y masa …206-224
DOI: http://dx.doi.org/10.46925//rdluz.39.11
206
Validación de las matrices de rigidez y masa obtenidas a partir de las
ecuaciones bidimensionales de movimiento de vigas curvas de
Timoshenko
Argenis Jesús Bonilla Pinto*
Carlos José Gomes Ansia**
RESUMEN
En este trabajo se obtuvieron las matrices de masa y rigidez que describen el movimiento
vibratorio, en el plano, de vigas curvas bidimensionales. Se desarrolló el modelo matemático para
la energía cinética y potencial elástica de una viga curva bidimensional de Timoshenko. Las
ecuaciones de energía incluyen elementos discretos como inercias traslacionales y rotacionales,
resortes traslacionales y torsionales. El principio de Hamilton se empleó para obtener la
formulación débil por elementos finitos y consecuentemente las matrices de rigidez y masa. Los
términos de las matrices se obtuvieron mediante integración paramétrica con elementos cúbicos
de tres grados de libertad por nodo. Las matrices desarrolladas para el elemento viga curva se
validaron con casos de estudio presentados en publicaciones anteriores, encontrando buena
concordancia.
PALABRAS CLAVE: Viga curva, viga curva de Timoshenko, método de los elementos finitos,
matriz de rigidez, matriz de masa.
*Departamento de Mecánica, Universidad de Oriente. Núcleo Anzoátegui. Barcelona, 4327.
Anzoátegui, Venezuela. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0488-1151. E-mail:
aj.bonilla.13@gmail.com
** Departamento de Mecánica, Universidad de Oriente. Núcleo Anzoátegui. Barcelona 4327.
Anzoátegui, Venezuela. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8235-4280. E-mail:
prof.Carlos.J.Gomes@gmail.com
Recibido: 08/09/2022 Aceptado: 03/11/2022
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207
Validation of the stiffness and mass matrices obtained from the two-
dimensional equations of motion of curved Timoshenko beams
ABSTRACT
In this work, the mass and stiffness matrices for the vibrational behavior, on the plane, of curved
Timoshenko’s beams were developed. The mathematical model for the kinetic and elastic
potential energy of a two-dimensional curved Timoshenko beam was developed. The energy
equations include discrete elements such as translational and rotational inertias, translational
and torsional springs. Hamilton's principle was used to obtain the weak finite element
formulation and consequently the stiffness and mass matrices. The terms of the matrices were
obtained by parametric integration with cubic elements of three degrees of freedom per node.
The matrices developed for the curved beam element were validated with case studies presented
in previous publications, finding good agreement.
KEYWORDS: Curved beam, Timoshenko curved beam, finite elements method, stiffness matrix,
mass matrix.
Introducción
La descripción matemática del comportamiento elástico de vigas curvas es más compleja
que el de las vigas rectas debido a que el desplazamiento axial (tangencial), el desplazamiento
transversal (radial), y el giro de la sección transversal de una viga curva están acoplados. Un
número de investigadores han abordado este tema: Auciello y de Rossa (1994), Chidamparam y
Leissa, (1993), Henrych (1981), Markus y Nanasi (1981), y Yang et. al. (2018) realizaron revisiones
de las investigaciones sobre vigas curvas, tanto dentro del plano, como fuera del plano. Rao
(2007), desarrolló ecuaciones diferenciales de una viga curva bidimensional considerando los
efectos de la inercia rotacional y los esfuerzos cortantes, obtuvo soluciones analíticas
paramétricas para varios casos prácticos. Lee y Yan (2015) desarrollaron ecuaciones diferenciales
para una viga curva bidimensional de Timoshenko y las resolvieron usando el método de la
función de desplazamiento con condiciones de borde no lineales. Tang et. al. (2013) desarrollaron
un elemento viga curva bidimensional utilizando polinomios mixtos trigonométricos como
funciones de forma para obtener las matrices de rigidez. Estos polinomios están basados en la
teoría de vigas rectas, y sus desplazamientos no están acoplados. Obtuvieron resultados para
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varios casos de vigas circulares bajo cargas estáticas. Yang et. al. (2014) identificaron un
elemento viga curva bidimensional utilizando funciones B-spline como funciones de forma para
obtener las matrices de rigidez y masa, obtuvieron soluciones para varios casos de vigas
circulares bajo carga estática y vibración natural.
En el presente trabajo se presentan las ecuaciones diferenciales bidimensionales que
describen el comportamiento vibracional de una viga curva en el plano de curvatura. La viga se
trató como una viga de Timoshenko, en la cual el giro de la sección transversal es la suma de la
rotación por deflexión más la rotación por deformación cortante. Las ecuaciones de
desplazamiento y deformación se emplearon en el cálculo de la energía cinética y potencial
elástica, respectivamente. El material se consideró homogéneo e isotrópico lineal con pequeñas
deformaciones, mientras que la viga se trató como una sección transversal prismática.
Como procedimiento de validación de las matrices de rigidez y masa se escogió
determinar las frecuencias naturales de vigas curvas para diferentes ensayos numéricos. Primero
se realizó un ensayo de convergencia en función del tamaño del elemento para verificar
comportamiento asintótico de los resultados, también se compararon los resultados obtenidos
con las matrices desarrolladas en este trabajo con el reportado por otros y finalmente se modelo
una viga recta como caso extremo de una viga curva.
1. Modelo matemático
En esta sección se desarrollan las ecuaciones fundamentales que describen la dinámica de
una viga curva en el plano, utilizando viga curva de Timoshenko, material elástico lineal e
isotrópico, y sección transversal constante.
1.1. Energía potencial elástica
La energía potencial elástica,
elas
, para un sólido deformable está dada por el producto
de las componentes del tensor tensión, σ
ij
, y el tensor deformación, ε
ij
. Si las deformaciones
ocurren dentro del límite elástico para un material homogéneo de comportamiento lineal e
isotrópico, la energía potencial elástica en coordenadas cilíndricas para un volumen V es:
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(1)
Donde, σ
θθ
, σ
rr
, σ
zz
y τ
r
θ
, τ
z
θ
y τ
rz
son las componentes de esfuerzo normal y cortante,
respectivamente, E es el módulo de elasticidad, G es el módulo de rigidez o resistencia al corte, y
υ es el coeficiente de Poisson.
Dado que solo se considera el comportamiento vibratorio en el plano de curvatura, no
existe dependencia con la coordenada z. Además, las componentes zz, z
y zr de las
deformaciones y de los esfuerzos son cero.
El esfuerzo normal debido a flexión y carga axial para una viga curva está dado por
Raveendranath et al. (2001):
(2)
Donde r se mide desde el centroide de área de la sección transversal, u
θ
y u
r
son los
desplazamientos axiales y radiales respectivamente, ϕ es la rotación de la sección transversal
con respecto al eje z debido a flexión, y R es el radio de curvatura.
El esfuerzo cortante debido a flexión viene dado por (Rao S., 2007):
(3)
Donde κ es el coeficiente de corte de Timoshenko. El esfuerzo σ
rr
es nulo durante la flexión
en el plano r-θ.
Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1, expandiendo los cuadrados perfectos,
tomando la dirección axial como s = R∙θ (ds = R∙dθ), el diferencial de área como dA = dr∙dz y el
diferencial de volumen como dV = R∙dθ dA se obtiene la energía potencial elástica de una viga curva
en el plano en función de sus desplazamientos en el plano:
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(4)
Donde las integrales de área resultan en:
(5)
(6)
(7)
Donde A es el área de la sección transversal e I
zz
es el segundo momento de área con
respecto al eje z. De esta manera, la energía potencial resulta en:
(8)
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Las conexiones flexibles a la viga curva se modelaron como resortes elásticos lineales,
traslacionales y rotacionales, los cuales almacenan energía potencial de acuerdo a:
(9)
Donde Π
resorte
es la energía potencial elástica total debido a los resortes lineales
traslacionales y rotacionales, k
ri
es la constante de resorte traslacional del resorte i en dirección
radial, k
θ
j
es la constante de resorte traslacional del resorte j en dirección axial, y k
τ
l
es la
constante de resorte rotacional del resorte l en dirección angular.
Este término se suma a la energía potencial elástica de la viga curva en el plano, resultando
en una expresión de la siguiente forma:
(10)
Donde Π
total
es la energía potencial elástica total de la viga curva y de los resortes.
1.2. Energía cinética
La energía cinética, para los desplazamientos definidos, se muestra en la Ec. 11. Donde el
primer término representa la energía cinética en la dirección radial, el segundo término
representa la energía cinética en la dirección axial, y el tercer término representa la energía de
rotación, todos ellos de un elemento diferencial de viga curva:
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212
(11)
Los accesorios conectados a la viga curva cuya inercia se desea considerar se modelan
como inercias traslacionales y rotacionales puntuales cuyas energías cinéticas vienen dadas por:
(12)
Donde T
inercia
es la energía cinética debido a las inercias conectadas a la viga curva, m
i
y J
i
representan la masa y la inercia del i-esimo accesorio. La energía cinética total es la suma de la
ecuación 11 y 12, y resulta:
(13)
1.3. Principio de Hamilton
Despreciando las fuerzas no conservativas, la ecuación del Principio de Hamilton resulta en:
(14)
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Sustituyendo las ecuaciones 10 y 13 en la ecuación 14, y realizando las integraciones
correspondientes, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
(15)
(16)
(17)
Con las siguientes condiciones de borde:
(18)
(19)
(20)
Las ecuaciones diferenciales 15, 16, y 17 coinciden con las obtenidas por Lee y Yan (2015),
quienes también estudiaron vigas curvas bidimensionales de Timoshenko. Las ecuaciones 18, 19,
y 20 representan las condiciones de borde fuerza radial, fuerza axial, y momento flexionante,
respectivamente.
2. Modelo por Elementos Finitos
2.1. Funciones de forma
Asumiendo que los desplazamientos tienen solución aproximada dentro de cada
elemento de la siguiente forma:
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214
(21)
(22)
(23)
Donde u
θ
, u
r
y ϕ son los desplazamientos axial, radial y rotacional dentro del elemento
viga 2D, respectivamente, U
θ
i
, U
ri
y Φ
i
son las respuestas en el tiempo del i-esimo nodo en las
direcciones axial, radial y rotacional, respectivamente, N
θ
i
, N
ri
y N
ϕ
i
son las funciones de forma
asociadas al i-esimo nodo dentro del elemento, N es el número de nodos en el elemento.
Asumiendo respuesta armónica de frecuencia ω en el tiempo y usando notación vectorial, las
ecuaciones 21, 22 y 23 se pueden escribir como:
(24)
(25)
(26)
Donde {N
r
(θ)}, {N
θ
(θ)}, {N
ϕ
(θ)} y {u} son vectores columna. El superíndice T denota
transpuesta. Se emplearon elementos cúbicos con cuatro nodos igualmente espaciados y el
origen del elemento a la mitad del arco, las funciones de forma resultantes son:
(27)
(28)
(29)
(30)
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215
R
y
/2
x
/2
U
r4
/6
/6
U
r1
U
r2
U
r3
U
4
U
3
U
2
U
1
La Figura 1 muestra el elemento curvo de cuatro nodos empleado en este trabajo
Figura 1. Distribución nodal del elemento cúbico.
2.2. Matriz de masa
Retomando la ecuación de Hamilton, ecuación 12, sustituyendo las ecuaciones 10 y 13,
empleando las ecuaciones 21 a 30 y planteando la integral sobre la longitud de un elemento se
obtiene, después de agrupar los términos inerciales:
(31)
Donde:
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
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216
2.3. Matriz de rigidez
De manera análoga, al agrupar los términos procedentes de la energía potencial elástica se
obtiene:
(37)
Donde:
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
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2.4. Matriz de transformación
Las matrices de masa y rigidez del elemento, ecuación 31 y 37, respectivamente, se
encuentran definidas en términos de las coordenadas locales del elemento (sistema coordenado
r-). En el sistema coordenado global x-y, las matrices de masa y rigidez son dadas por:
(44)
(45)
Donde [KG
XY
] y [MG
XY
] son las matrices de rigidez y masa, respectivamente, en función
de las coordenadas globales x-y. [R] es la matriz de rotación que relaciona los desplazamientos
locales con los desplazamientos globales y viene dada por:
(46)
Donde R
i
es la matriz de rotación para el i-esimo nodo, Figura 1, y está dada por:
(47)
3. Resultados y Discusión
En esta sección se presentan los resultados obtenidos, para diferentes ensayos numéricos,
empleando las matrices de rigidez y de masa desarrolladas en el presente trabajo.
3.1. Análisis de sensibilidad
En este ensayo se modela una viga curva de 90° en cantiléver (en un extremo no se permite
ni desplazamientos ni rotaciones, el otro extremo libre) con sección transversal circular hueca.
Las propiedades geométricas de la sección transversal y las propiedades del material se muestran
en la tabla 1. En este ensayo se varía el número de elementos en la simulación, desde dos hasta
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ochenta. Las primeras diez frecuencias naturales en Hertz, para 80 elementos son: 1960.13,
5251.79, 10430.00, 14628.78, 19699.57, 24484.57, 24484.35, 25806.10, 29095.63, 33950.93, y
38163.68.
Parámetros
Valor
Radio de curvatura R (m)
0.1
Diámetro externo (m)
0.0568
Diámetro interno (m)
0.0508
Coeficiente de corte de Timoshenko, k
0.7284
Módulo de elasticidad E (GPa)
70.0
Módulo de Poisson ν
0.3
Densidad ρ (kg/m
3
)
2698.4
Tabla 1. Propiedades geométricas de la sección transversal y del material utilizadas para
el caso de la figura 2.
En la figura 2 se muestra la variación del porcentaje de diferencia de las diez primeras
frecuencias naturales con respecto a las frecuencias naturales calculadas con 80 elementos versus
el número de elementos. Se observa que, a medida que se incrementa el número de elementos en
el modelo, los valores de la diferencia disminuyen asintóticamente a cero para todas las
frecuencias. En el caso de las primeras frecuencias (1
ra
-3
ra
) se logra una diferencia menor al 1%
con dos elementos, para las frecuencias intermedias (4
ta
-9
na
) se logra lo mismo con cuatro
elementos, y para la décima frecuencia se requiere menos de ocho elementos.
3.2. Viga Curva con Diferente Ángulo de Longitud
En este ensayo se determina la primera frecuencia natural de una viga curva de sección
transversal rectangular y extremos articulados cuyo ángulo de longitud varía desde 10° hasta
350°. Las propiedades geométricas de la sección transversal y del material utilizado se listan en
la tabla 2.
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Figura 2. Porcentaje de diferencia con respecto a las frecuencias calculadas con 80 elementos
para una viga curva de 90
0
.
Este ensayo numérico fue presentado por Yang et. al. (2014), en el que se compilan
resultados de varios investigadores para mostrar la exactitud de sus métodos de cálculo. Esos
resultados y los obtenidos utilizando las matrices desarrolladas en este trabajo se listan en la
tabla 3, en el caso del presente trabajo también se listan el número de elementos necesarios para
lograr una diferencia menor al 1% con respecto a los resultados compilados por Yang et. al.
(2014). Se observa que los resultados obtenidos en el presente trabajo concuerdan con los
resultados publicados, existiendo mayor semejanza con los resultados de THICK–2, CHM2, y
BSWI.
Parámetros
Valor
Radio de curvatura R (pulg)
12.0
Altura de sección h (pulg)
0.25
Ancho de sección b (pulg)
0.625
Coeficiente de corte de Timoshenko k
0.8497
Módulo de elasticidad E (Mpsi)
30.4
Módulo de Poisson ν
0.3
Densidad ρ (slugs pie / pulg
4
)
0.02763
Tabla 2. Propiedades geométricas de la sección transversal y del material utilizadas para el caso de la Tabla 3.
-5
0
5
10
15
20
1 10 100
Porcentaje de diferencia %
Número de elementos
Primera Segunda
Tercera Cuarta
Quinta Sexta
Septima Octava
Novena Decima
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220
Ángulo
(°)
Primera Frecuencias Naturales [rad/s]
CHM2 (Kim
& Park,
2006)
THICK-2
(Leung and
Zhu, 2004)
MFE
(Raveendranath et.
al 1999)
E1.1b
(Krishnan et.
al. 1995)
BSWI
(Yang et. al.
2014)
Presente trabajo
(# elementos)
10
5845.78
5841.74
5852.32
5874.30
5881.64
5798.76 (10)
20
2836.20
2827.63
2829.66
2823.10
2829.13
2813.15 (10)
30
2370.01
2339.82
2373.23
2345.20
2348.11
2324.70 (15)
60
564.05
560.25
567.71
561.20
560.62
557.22 (15)
90
230.31
229.66
232.94
230.40
229.69
228.47 (20)
120
115.82
115.64
117.50
116.30
115.64
115.05 (24)
150
64.52
64.43
76.24
64.93
64.42
64.11 (24)
180
37.91
37.86
38.71
38.24
37.85
37.67 (24)
210
22.80
22.77
23.42
23.05
22.76
22.65 (32)
240
13.69
13.66
14.19
13.87
13.66
13.59 (32)
270
7.94
7.92
8.39
8.06
7.92
7.88 (32)
300
4.20
4.18
4.65
4.27
4.19
4.16 (32)
330
1.70
1.69
2.28
1.73
1.69
1.68 (32)
350
0.50
0.49
1.38
0.50
0.50
0.49 (32)
Tabla 3. Primera frecuencia natural de un arco circular articulado en sus extremos, variando el
ángulo del arco.
3.3. Viga curva de sección transversal circular y 90° de ángulo de longitud
En esta sección se analiza un cuarto de circulo con sección transversal circular sólida para
varias condiciones de borde; estas son: doble articulación, doble empotramiento, y empotrado –
articulado. Las propiedades geométricas de la sección transversal y del material utilizado para
este ensayo se listan en la tabla 4. Tomando en consideración los resultados obtenidos en la
sección 3.1, se emplearon 16 elementos igualmente espaciados para los tres casos considerados.
Parámetros
Valor
Radio de curvatura R (m)
1.90507
Diámetro externo (m)
0.0568
Diámetro interno (m)
0.0508
Coeficiente de corte de Timoshenko k
0.7284
Módulo de elasticidad E (GPa)
70
Módulo de Poisson ν
0.3
Densidad ρ (kg/m
3
)
2698.4
Tabla 4. Propiedades geométricas de la sección transversal y del material utilizadas para el caso de la Tabla 5.
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221
Para este caso, los resultados se comparan con los resultados publicados por Yang et. al.
(2014). Los resultados se listan, Tabla 5, empleando una frecuencia natural adimensional
definida por la siguiente ecuación:
(48)
Con
, donde R es el radio de curvatura del arco, y r es el radio de giro de la
sección transversal definido por
.
Se observa que los resultados del presente trabajo poseen muy buena concordancia con
los resultados publicados por Yang et. al. (2014).
3.4. Viga recta en voladizo
En este caso se estudia una viga recta en voladizo con sección transversal rectangular,
como un caso extremo de una viga curva con radio de curvatura infinito y ángulo de longitud
muy pequeño. Las propiedades geométricas y del material utilizadas se muestran en la tabla 6.
Condición de borde
Autores
Modos
1
ro
2
do
Doblemente articulada
Raveendranath et al., (2001)
33.83
78.72
Krishnan y Suresh, (1998)
33.93
79.42
Sabir et al., (1994)
33.79
79.02
BSWI (Yang Z. et. al., 2014)
33.87
78.95
Presente trabajo
33.79
78.48
Doblemente empotrado
Raveendranath et al., (2001)
55.34
102.28
Krishnan y Suresh, (1998)
55.82
104.28
Sabir et al., (1994)
55.45
103.59
BSWI (Yang Z. et. al., 2014)
55.54
103.00
Presente trabajo
55.12
101.73
Empotrado – articulado
Raveendranath et al. (2001)
43.81
90.60
Krishnan y Suresh, (1998)
44.05
91.82
Sabir et al. (1994)
43.81
91.29
BSWI (Yang Z. et. al., 2014)
43.91
91.00
Presente trabajo
43.70
90.18
Tabla 5. Primera y segunda frecuencia natural adimensional de una viga curva de 90° con
diferentes condiciones de borde.
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DOI: http://dx.doi.org/10.46925//rdluz.39.11
222
En este caso, se utiliza las soluciones analíticas de una viga recta de Euler – Bernoulli
(Ferreira, 2008), y un elemento viga recta de Timoshenko (Ferreira, 2008) como parámetros de
comparación, los resultados se muestran en la Tabla 6. En esta tabla se muestran las primeras
dos frecuencias naturales, y se observa que los resultados del presente trabajo tienen excelente
concordancia con parámetros de comparación.
Parámetros
Valor
Longitud L (m)
1
Altura de sección h (m)
0.001
Ancho de sección b (m)
1
Coeficiente de corte de Timoshenko k
5/6
Módulo de elasticidad E (GPa)
0.01
Módulo de Poisson ν
0.3
Densidad ρ (kg / m
3
)
1
Tabla 6. Propiedades geométricas de la sección transversal y del material utilizadas para el caso
de la tabla 7.
Modo
Frecuencias naturales (Hz)
Solución Exacta
(Euler - Bernoulli)
Solución usando
10 elementos viga recta de Timoshenko
Presente trabajo
1
3.2097
3.2097
3.2101
2
20.1148
22.1152
20.1147
Tabla 7. Primera y segunda frecuencia natural de una viga recta en cantiléver.
Conclusiones
El modelo matemático de la energía cinética y energía potencial elástica seleccionado para
modelar vigas curvas de Timoshenko se validó al deducir las ecuaciones diferenciales de
movimiento y condiciones de borde, empleando el principio de Hamilton y encontrando
igualdad con las ecuaciones diferencias de movimiento y condiciones de borde deducidas por
Lee y Yan (2014), para vigas curvas de Timoshenko.
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Las matrices de rigidez y masa desarrolladas a partir del modelo matemático de la energía
cinética y energía potencial elástica, se validaron mediante la estimación de las frecuencias
naturales para diferentes experimentos numéricos, encontrándose: convergencia asintótica con
la disminución del tamaño del elemento, buena concordancia con resultados reportados por
otros para casos de cambios en la longitud angular y variación en las condiciones de borde.
También se verifico la condición límite de viga recta encontrando excelente concordancia con
resultados analíticos y numérico.
Referencias
Auciello, N. M. y de Rosa, M. (1994). A. Free vibrations of circular arches: a review. Journal of
Sound and Vibration, vol. 176, no. 4, pp. 433-458.
Chidamparam, P. y Leissa, A. W. (1993). Vibration of planar curved beams, rings, and arches.
Applied Mechanical Reviews, vol. 46, no. 9, pp.467-483.
Ferreira, A. [Ed.]. (2008), MATLAB Codes for finite element analysis, solids and structures. Solid
Mechanics and its Applications, Volume 157, Portugal: Springer.
Henrych J. (1981), The dynamics of arches and frames, Elsevier, Amsterdan.
Kim, J.-G. y Park, Y.-K. (2006). Hybrid-mixed curved beam elements with increased degress of
freedom for static and vibration analyses. International Journal for Numerical Methods in Engineering,
vol. 68, no. 6, pp. 690–706.
Krishnan, A. y Jayadevappa, Y. (1998). A simple cubic linear element for static and free vibration
analyses of curved beams. Computers & Structures, vol. 68, no. 5, pp. 473–489.
Krishnan, A., Dharmaraj, S. y Jayadevappa, Y. (1995). Free vibration studies of arches. Journal of
Sound and Vibration, vol. 186, no. 5, pp. 856–863.
Lee, S. y Yan, Q. (2015). Exact static analysis of in-plane curved Timoshenko beams with strong
nonlinear boundary conditions. Mathematical Problems in Engineering, vol. 2015, no. 4, pp. 1-12.
Leung, Y. T. y Zhu, B. (2004). Fourier p-elements for curved beam vibrations. Thin-Walled
Structures, vol. 42, no. 1, pp. 39–57.
Markus, S. y Nanasi, T. (1981). Vibration of curved beams. Shock and Vibration Digest, vol. 13, no. 4,
pp. 3-14.
REVISTA DE LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA. 3ª época. Año 14, N° 39, 2023
A. J. Bonilla Pinto & C. J. Gomes Ansia /// Validación de las matrices de rigidez y masa …206-224
DOI: http://dx.doi.org/10.46925//rdluz.39.11
224
Rao, Singeresu. (2007), Vibration of continuous systems, Primera Edición. Editorial John Wiley
& Sons.
Raveendranath, P., Singh, G. y Pradhan, B. (1999), A two-noded locking–free shear flexible
curved beam element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 44, no. 2,
pp. 265-280.
Raveendranath, P., Singh, G., y Rao, G. (2001). A three-noded shear-flexible curved beam
element based on coupled displacement field interpolations. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, vol. 51, no. 1, pp. 85–101.
Sabir, A., Djoudi, M. y Sfendji, A. (1994). The effect of shear deformation on the vibration of
circular arches by the finite element method. Thin-Walled Structures, vol. 18, no. 1, pp. 47–66.
Tang, Y. Q., Zhou, Z., y Chan, S.L. (2013). An accurate curved beam element based on
trigonometrical mixed polynomial function. International Journal of Structural Stability and Dynamics,
vol. 13, no. 4, 1250084.
Yang, F., Sedaghati, R. y Esmailzadeh, E. (2018) Free in-plane vibration of curved beam
structures: A tutorial and the state of the art. Journal of Vibration and Control, vol. 24(12), pp. 2400-
2417.
Yang, Z., Chen, X., He, Y., He, Z. y Zhang, J. (2014). The analysis of curved beam using B-spline
wavelet on interval finite element method. Shock and Vibration, vol. 2014.
