Universidad del Zulia - Facultad de Humanidades y Educación
Encuentro Educacional
ISSN 1315-4079 ~ Depósito legal pp 199402ZU41
Vol. 25 (2) julio – diciembre 2018: 217-233
Usos de la demostración en educación matemática para su comprensión y
ejecución en el nivel medio general
Pedro Luis Méndez Camargo
Departamento de Matemática y Física. Facultad de Humanidades y Educación.
Universidad del Zulia. Maracaibo – Venezuela
plmendez88.pm.pm@gmail.com
Resumen
Un sistema educativo precario generará individuos con una preparación académica precaria; una
vez completado el ciclo, el producto resultante de ello, como efecto, se constituirá en la causa que
volverá a generar el mismo producto; la educación matemática en el país ha venido empeorando,
esto es consecuencia de varios factores, como la falta de desarrollo del pensamiento lógico –
matemático y el pensamiento crítico, en los estudiantes cursantes de los primeros niveles de
educación. En este sentido toma especial relevancia la demostración matemática, ya que al incluir
esta en el proceso educativo del discente se le daría la oportunidad de pensar y lo más importante
de crear sus propios argumentos y justificaciones. El propósito de la presente investigación fue
analizar los usos de la demostración en educación matemática para su comprensión y ejecución
en el nivel media general, en la parroquia Libertad del Municipio Machiques de Perijá, estado
Zulia. Se basó teóricamente en Camargo (2010), Gila (1996), Larios (2003), Solow (1993), entre
otros. Se enmarca en el enfoque epistemológico positivista, proyectiva, con un diseño no
experimental y transeccional. La población fue de 1235 estudiantes, con una muestra obtenida de
un muestreo estratificado de 242 sujetos. Para la recolección de la información se usaron
cuestionarios autoadministrados. Los resultados obtenidos arrojaron la ausencia de uso de la
demostración matemática como estrategia para el desarrollo del pensamiento lógico – matemático
y el pensamiento crítico.
Palabras clave: Demostración matemática; pensamiento lógico – matemático; estrategias de
aprendizaje.
Uses of the demonstration in mathematical education for its understanding and
execution at the general medium level
Abstract
A precarious educational system will generate individuals with an academically precarious
preparation, once the cycle is completed, the resulting product, as an effect, will become the
cause that will generate the same product again; mathematics education in the country has been
worsening, this is the consequence of several factors, as the lack of development of logical-
mathematical thinking and critical thinking in students attending the first levels of education
stands out. In this sense, the mathematical demonstration takes special relevance since including
this in the educational process of the learner would be given the opportunity to think and, most
importantly, to create their own arguments and justifications. The purpose of the present
investigation was to analyze the uses of the demonstration in mathematical education for its
understanding and execution at the general medium level in the Libertad parish of the Machiques
de Perijá municipality of the Zulia state. It relied theoretically on Camargo (2010), Gila (1996),
Larios (2003), Solow (1993), among others. This research is part of the positivist epistemological
approach, projective, with a non-experimental and transectional design. The population was 1235
students, with a sample obtained from a stratified sample of 242 subjects. Self-administered
questionnaires were used to collect the information. The results obtained showed the absence of
use of mathematical proof as a strategy for the development of logical - mathematical thinking
and critical thinking.
Keywords: Mathematical demonstration; logical - mathematical thinking; learning strategies.
Introducción
El desarrollo de los pueblos y por consiguiente de las sociedades, está determinado por la
capacidad que poseen sus integrantes de identificar, analizar, sistematizar y, posteriormente,
resolver los problemas que en un determinado tiempo histórico atraviesan. Para ello requiere,
como condición sine qua non, individuos que tengan la capacidad de pensar, razonar e inferir
para, posteriormente, buscar y demostrar los múltiples caminos que han de transitar para
solucionarlos.
Las sociedades actuales, consideradas de la información y el conocimiento, demandan
ciudadanos pensantes, críticos y reflexivos que sean capaces de avanzar en la búsqueda del
mejoramiento de la calidad de vida de todos sus habitantes. En ese sentido, y a fin de ajustar el
talento humano a tal exigencia, la Ley Orgánica de Educación (2009), en su artículo 15, numeral
8, establece, que uno de los fines de la educación es: “Desarrollar la capacidad de abstracción y
el pensamiento crítico mediante la formación en filosofía, lógica y matemática, con métodos
innovadores que privilegien el aprendizaje desde la cotidianidad y la experiencia”.
Por otra parte, a los estudiantes se les exige memorizar una fórmula y aplicarla una y otra vez
en los ejercicios, no se le da importancia al origen de la misma, de donde surge, por qué es así y
no de otra forma. La cuestión ha sido preguntada y respondida al mismo tiempo, no se les da la
oportunidad de curiosear sobre una situación problemática; se les da la respuesta antes de que
puedan plantear la pregunta; así, eliminando los procesos creativos propios de la matemática y
dejando sólo los resultados del proceso, está casi garantizado, nadie va a tener atracción por la
asignatura.
En otro orden de ideas, una de las cualidades más relevantes de la demostración matemática es
responder a la pregunta ¿por qué? Los docentes de matemática se han concentrado en el qué y se
ha omitido el por qué, reduciéndola así a una cáscara vacía. El arte no está en la verdad sino en la
explicación, en el argumento. Es el argumento en sí el cual da a la verdad su contexto, y
determina qué es lo que realmente se está diciendo, así como su significado.
El proceso de demostración matemática ha desaparecido de la praxis de muchos educadores de
esta área del saber; sin embargo, Fiallo y Rodríguez (2012) establecen que el desarrollo de este
proceso constituye un objetivo importante de la educación matemática, por lo que los docentes no
deben abandonar esta práctica; Gila (1996:21) realizó un estudio de la situación de la
demostración en la educación de los países del norte de América:
En los últimos treinta años la demostración ha asumido un papel cada vez menos
importante en el currículum de la escuela secundaria norteamericana. Esto que ha
sucedido puede ser explicado en parte por el hecho de que muchos docentes de
Matemática han sido inducidos a creer, por algunos desarrollos de las Matemática y
de la investigación en la Educación Matemática, que la demostración no tenía un
papel fundamental en la teoría y en la práctica Matemática y que su uso en la práctica
didáctica no favorece, por sí mismo, el aprendizaje. Parece además que muchos
piensan haber resuelto los añejos problemas de la enseñanza de la demostración
limitándose simplemente a no tomarla en consideración.
Sin lugar a dudas, al incluir la demostración matemática en el proceso educativo del discente
se le daría la oportunidad de pensar y lo más importante de crear sus propios argumentos y
justificaciones, estaríamos dejando a un lado la frase común expresada por ellos, es así porque
mi maestro/profesor me lo dijo. Se debe pues inculcar un espíritu crítico a los estudiantes que los
lleve a cuestionar y explicar sus propias respuestas, así se podría lograr que estos recuerden
durante más tiempo las ideas fundamentales de los contenidos tratados y evitar la expresión
común de los estudiantes eso lo vi, pero no me acuerdo.
Después de las consideraciones anteriores, resulta oportuno hablar de cómo se puede trabajar
el proceso de demostración matemática en los sistemas de educación media general y media
técnica del sistema educativo venezolano. Para esto es importante saber que este proceso no sólo
tiene una función de verificación del conocimiento, sino también de explicación, cuando trata de
aclarar el por qué un enunciado es verdadero (Larios, 2002).
De Villiers (1990) citado por Larios (2002), indica que la demostración matemática puede ser
usada como un medio para la sistematización, cuando se plantean varios resultados dentro de un
sistema de axiomas o teoremas; como descubrimiento, cuando se descubren o inventan nuevos
resultados; como medio de comunicación, cuando se usa para transmitir el conocimiento
matemático; y como reto intelectual al permitirle al que realiza la demostración, mostrar sus
competencias y capacidades de análisis, síntesis y pensamiento lógico.
En este sentido, está claro que dominar la demostración de una proposición matemática
ayuda a la comprensión del resultado, facilita su posterior utilización práctica y contribuye a la
consolidación del lenguaje matemático. Ahora bien, parece atrevido hablar de incluir el proceso
de demostración matemática en el Sistema Educativo Venezolano ya que, según la experiencia
del autor de esta investigación, es común escuchar de los profesores del área las siguientes frases:
eso es muy difícil para ellos, ¿si no entienden cómo hacer los ejercicios, van a entender una
demostración matemática?, entre otras; la presencia de estas frases dejan ver dos posibles
situaciones, las cuales se considera en la mayoría de los casos, se cumplen ambas; la primera, el
profesor de matemática subestima a sus estudiantes (genios en potencia) y la segunda, el docente
desconoce las estrategias para desarrollar una demostración matemática y por supuesto no puede
enseñar lo que no sabe.
Finalmente, por estas y otras razones se ha notado que la demostración matemática ha sido
excluida de la educación venezolana, pasando por alto todas las ventajas que traería al desarrollo
cognitivo de los aprendices este proceso, motivo por el cual el propósito de la presente
investigación fue analizar los usos de la demostración en educación matemática para su
comprensión y ejecución en el nivel de educación media general.
Fundamentación teórica
Stylianides (2007), citado por Camargo (2010), realiza una caracterización que hace de la
demostración para el contexto educativo, el cual señala tres particularidades centrales de las
cadenas deductivas que componen una demostración matemática:
1) Se usan y se explicitan claramente enunciados que han sido aceptado previamente como
verdaderos por la comunidad a quien se dirige la demostración.
2) Se empleas formas de razonamiento que son válidas, conocidas y al alcance de dicha
comunidad.
3) Se usan formas de expresión que son aceptadas, apropiadas y al alcance conceptual de los
miembros de la comunidad. Es por esto que es pertinente acotar que la demostración
matemática es de naturaleza sociocultural y está condicionada por el contexto en donde se
lleva a cabo y por el dominio especifico al interior del cual se está actuando.
Al respecto, Sánchez (2014) establece que una demostración realizada en el ámbito educativo
está compuesta por argumentaciones deductivas o inductivas, que justifiquen el porqué de esos
resultados y que eviten que consideren la matemática como una serie de verdades irrefutables que
no se discuten. Es importante hacer notar que los estudiantes necesitan y exigen que se les
explique el porqué de la mayoría de los procedimientos que se aplican en esta ciencia.
A su vez, Gila (1996) define la demostración matemática como un razonamiento transparente,
en el cual todas las afirmaciones usadas y todas las reglas de razonamiento son claramente
expuestas y abiertas a las críticas; también Solow (1993:18) comenta:
Dados dos proposiciones, A y B, cada uno de los cuales puede ser verdadero o falso,
un problema de interés fundamental en matemática es el de demostrar que, si A es
verdadero, entonces B es verdadero. Una demostración es un método formal para
realizar esta tarea.
Cabe agregar que Larios (2003) realiza una compilación de los conceptos presentados por
varios autores; los mismos se presentan en el cuadro 1, según su orden de aparición en el tiempo.
Cuadro 1. Conceptualizaciones de demostración matemática
Autor
Año
Concepto
Bartolache
1990
Una demostración matemática es por un exacto y bien ordenado discurso, la
conexión que hay entre la hipótesis y la tesis, empleando para esto otras
proposiciones establecidas de antemano, hasta venir a caer de silogismo en
silogismo en la dicha tesis como en una consecuencia necesaria.
Kline
1992
Todas las demostraciones matemáticas deben ser deductivas. Cada demostración
es una cadena de inferencias deductivas, y cada una de éstas con sus
correspondientes premisas y conclusiones.
Pluvinage
1996
Demostración no es otra cosa sino lo que los matemáticos aceptan como
demostración.
Balacheff
1996
Prueba es una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento
dado. En la comunidad matemática sólo pueden ser aceptadas como prueba las
explicaciones que adoptan una forma peculiar, son una serie de enunciados
organizados según reglas determinadas, un enunciado se conoce verdadero o bien
se deduce de los que lo preceden a través de una regla de deducción tomada de un
grupo de reglas bien definidas, llamamos demostración a estas pruebas.
Singh
1998
La idea clásica de una demostración matemática consiste en partir de una serie de
axiomas o afirmaciones que pueden considerarse ciertos o que por evidencia
propia lo son. Después, con una argumentación lógica y progresiva, se puede
llegar a una conclusión. Si los axiomas son correctos y la lógica es impecable, la
conclusión final es innegable. Esta conclusión constituye un teorema.
Camargo
2010
Es un discurso que respeta ciertas reglas, fundamentado en un sistema teórico de
referencia, mediante el cual se da validez a un enunciado al interior del sistema.
Para ello, se establece una cadena deductiva de afirmaciones que lleva del
antecedente del enunciado (de tipo condicional) al consecuente de éste.
Fuente: Larios (2003)
Es decir, en los conceptos antes señalados existen algunos elementos o características que
permiten establecer, según lo planteado por estos autores, lo que es una demostración
matemática; entre ellas están:
Razonamiento transparente.
Método formal para realizar esta tarea: si A es verdadero, entonces B es verdadero.
Serie finita de fórmulas que pueden ser derivadas de otras.
Un exacto y bien ordenado discurso.
Cadena de inferencias deductivas, y cada una de éstas con sus correspondientes premisas y
conclusiones.
Lo que los matemáticos aceptan como demostración.
Una serie de enunciados organizados según reglas determinadas.
Una serie de axiomas o afirmaciones que pueden considerarse ciertos.
Argumentación lógica y progresiva.
Finalmente, y para efectos de esta investigación se entenderá como demostración matemática:
una sucesión de proposiciones donde cada una esté justificada por una anterior, en la cual se
diferencian dos elementos principales, un elemento que es lo que se conoce como premisas,
hipótesis y el otro elemento que es la llamada conclusión o tesis. Cómo ir desde las condiciones
establecidas en las premisas a las condiciones establecidas en la conclusión o tesis aplicando
procesos de tipo lógico – deductivo es lo que se le conoce como demostración matemática.
Usos de la demostración en educación matemática
A continuación, se presenta en el cuadro 2, diferentes conceptos encontrados en la revisión
bibliográfica, sobre los usos de la demostración en educación matemática.
Cuadro 2. Conceptualizaciones de los usos de la demostración en educación matemática
Uso
Autor y año
Concepto
Verificación
–
Convicción
De Villiers
(1993) citado
por Sánchez
(2014)
En el ambiente matemático, una demostración aceptada
proporciona veracidad al enunciado que demuestra.
Normalmente, tras una demostración hecha de forma
correcta, se provoca una convicción de que el enunciado es
cierto.
De Caicedo
(2010)
Tiene como objetivo obtener certeza de un teorema y
convencer a los pares y a uno mismo de ésta. Esta función
exige demostraciones formales y completas, cuando se trata
de un grupo de expertos. Pero, ello puede modificarse según
el nivel académico del grupo de personas.
Bravo (s/f)
Con la demostración se busca la certeza o verdad de una
proposición.
De Villiers
(1993)
La demostración se usa para convencer a un público sobre la
verdad de una afirmación.
Explicación
–
Comprensión
De Villiers
(1993) citado
por Sánchez
(2014)
Este uso se puede ver en aquellos enunciados en lo que se
observa que se cumple para un gran número de casos
particulares y que al realizar la demostración proporciona
una mayor información de los motivos por los que se verifica
el enunciado en cuestión.
De Caicedo
(2010)
Busca proveer el por qué la proposición es verdadera. Se
utiliza con el propósito de que el individuo comprenda mejor
el objeto matemático involucrado. Usualmente esta función
cobra mayor importancia cuando se piensa en el papel de la
demostración en la formación matemática de un individuo.
Bravo (s/f)
Busca explicar por qué la proposición es cierta, hacer la
actividad significativa, a la vez que constituye una
motivación.
De Villiers
(1993)
La demostración profundiza en el por qué una afirmación es
verdad.
Sistematización
De Villiers
(1993) citado
por Sánchez
(2014)
Si se sitúa la demostración dentro de un sistema axiomático,
la estructura lógica de la demostración permite en ocasiones
organizar la información de una mejor manera a lo que se
hubiese hecho de forma intuitiva, ayudando a evitar
razonamientos circulares e inconsistencias lógicas.
De Caicedo
(2010)
Atiende a la organización de los axiomas, definiciones y
teoremas dentro de una teoría. Tiene las siguientes
intenciones: identificar inconsistencias, integrar los teoremas
y definiciones, dar lugar a nuevos sistemas axiomáticos,
permitir coherencia y unificación de los resultados.
Ibañes (2001)
citado por
Bravo (s/f)
Organización de un sistema deductivo de la teoría: axiomas,
definiciones y teoremas ya demostrados con anterioridad.
De Villiers
(1993)
La demostración permite la organización de varios resultados
dentro de un sistema de axiomas, conceptos fundamentales y
teoremas.
Descubrimiento
–
Exploración
De Villiers
(1993) citado
por Sánchez
(2014)
La demostración matemática puede ser también un modo de
descubrir nuevos resultados e incluso nuevas ramas del
conocimiento.
De Caicedo
(2010)
Tiene como objetivo encontrar nuevos teoremas a partir de
deducciones de otros teoremas, como ha sucedido
históricamente, o a partir de la exploración y análisis de
situaciones.
De Villiers
(1993) citado
por Bravo (s/f)
La demostración a menudo es un método de exploración,
análisis, inventiva que en ocasiones lleva a nuevos resultados
De Villiers
(1993)
La demostración conlleva al descubrimiento o invención de
nuevos resultados.
Comunicación
De Villiers
(1993) citado
La demostración matemática es un modo de comunicar
nuevos resultados dentro de un lenguaje común, lo que
por Sánchez
(2014)
permite la crítica constructiva de las demostraciones que van
elaborándose
De Caicedo
(2010)
Busca informar resultados matemáticos entre personas de una
misma comunidad. Por lo tanto, es una actividad social que
estipula ciertas normas para que el proceso comunicativo sea
óptimo. Permite vislumbrar las demás funciones de la
demostración, ya que si no existiera interés en comunicarla
no habría interés en convencer, explicar y sistematizar.
De Villiers
(1993) citado
por Bravo (s/f)
La demostración es una manera de expresar los resultados
ante otros profesionales, al profesorado y ante los propios
estudiantes, es un fórum para el análisis crítico de aciertos y
desaciertos.
De Villiers
(1993)
La demostración es utilizada para la transmisión del
conocimiento matemático.
Fuente: Elaboración propia (2018)
Metodología
Este estudio se fundamentó en un paradigma con enfoque cuantitativo, que de acuerdo a
Hernández; Fernández y Baptista (2014) utiliza la recolección de datos para probar hipótesis con
base en la medición numérica y el análisis estadístico, con el fin de establecer pautas de
comportamiento y probar teorías. Asimismo, Pérez (2015) sostiene que una de las características
fundamentales de este paradigma es el hecho de la presencia de procedimientos preestablecidos.
El investigador con anterioridad conoce y pronostica los pasos que ha de acometer en el andar
investigativo.
Fue además proyectiva, que para Hurtado (2012:122) “es el tipo de investigación que propone
soluciones a una situación determinada a partir de un proceso de indagación. Implica explorar,
describir, explicar y proponer alternativas de cambio, más no necesariamente ejecutar la
propuesta”. Así mismo fue descriptiva, ya que consistió en estructurar una propuesta
investigativa, basada en procesos de indagación, que conllevan exploración, descripción y
explicación de alternativas que conduzcan a algo deseado (De Suárez y De Mujica, 2013).
Según Silva (2009) fue de campo, que son aquellas investigaciones que se realizan en el medio
donde se encuentra el problema, o en el lugar donde se ubica el objeto de estudio.
El diseño no experimental utilizado en este estudio, es definido por Hernández; Fernández y
Baptista (2014) como aquel en el cual la investigación se realiza sin manipular deliberadamente
las variables; esto es, son estudios en los cuales no se hacen cambiar las variables, de esta forma
se limitan sólo a observar fenómenos tal como se dan en su contexto natural, para posteriormente
analizarlos.
Para la recolección de datos se utilizó la técnica del cuestionario autoadministrado, que para
Arias (2012) es la modalidad de encuesta que se realiza de forma escrita mediante un instrumento
contentivo de una serie de preguntas, que debe ser llenado por el encuestado, sin intervención del
encuestador. Estuvo constituido por 16 preguntas, distribuidas en los siguientes indicadores:
a) Verificación – Convicción
b) Explicación – Comprensión
c) Sistematización
d) Descubrimiento – Exploración
e) Comunicación
Además, Arias (2012) define población, como un conjunto finito o infinito de elementos con
características comunes para los cuales serán extensivas las conclusiones de la investigación. La
población objeto de estudio estuvo conformada por los estudiantes de 1er a 5to año de las
instituciones: Unidad Educativa Privada Colegio “Nuestra Señora del Carmen”, Escuela Técnica
Comercial Robinsoniana “Manuel Felipe Rugeles” y Escuela Básica “Machiques”, situadas todas
en la Parroquia Libertad del Municipio Machiques de Perijá del Estado Zulia.
A continuación, se presenta la distribución del número de estudiantes por sección, de las
instituciones antes mencionadas:
Tabla 1. Población Unidad Educativa Privada Colegio “Nuestra Señora Del Carmen”
Año
Sección
2do año
3er año
4to año
A
45
45
42
B
44
43
42
Total
89
88
84
Total general
434
Fuente: Elaboración propia (2018)
Tabla 2. Población Escuela Técnica Comercial Robinsoniana “Manuel Felipe Rugeles”
Año
Sección
2do año
4to año
5to año
A
36
39
39
B
40
39
39
Total
76
78
78
Total general
391
Fuente: Elaboración propia (2018)
Tabla 3. Población Escuela Básica “Machiques”
Año
Sección
2do año
4to año
5to año
A
42
43
41
B
41
42
42
Total
83
85
83
Total general
410
Fuente: Elaboración propia (2018)
La población definitiva fue de 1235 estudiantes, considerando solamente las secciones A y B
de las instituciones bajo estudio.
Para la selección de la muestra se utilizó como técnica el muestreo estratificado, que según
Chávez (2007) es aquel que se efectúa sobre la base de los estratos de la población. Para realizar
los cálculos de dichos estratos, Shiffer citado por Chávez (2007:169), presenta la siguiente
fórmula:
n
N
nh
ni*
Dónde:
ni: es el estrato que se determinará
n: tamaño adecuado de la muestra
nh: tamaño del estrato de la población
N: tamaño de la población
A continuación, en la tabla 4, se indica un resumen del número de estudiantes seleccionados
en cada estrato de la población.
Tabla 4. Número de estudiantes que conformaron la muestra
Institución Educativa
1er año
2do año
3er año
4to año
5to año
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
UEP Colegio "Nuestra Señora Del Carmen"
8
8
9
8
9
8
8
8
8
8
Escuela Técnica Comercial Robinsoniana
"Manuel Felipe Rugeles"
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Escuela Básica "Machiques"
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Sub Total Estudiantes
24
24
25
24
25
24
24
24
24
24
Total
48
49
49
48
48
Total general
242
Fuente: Elaboración propia (2018)
En el siguiente cuadro se muestran las alternativas de respuesta y su escala, usadas en las
preguntas del cuestionario autoadministrado.
Cuadro 3. Alternativas de respuestas y escalas del cuestionario autoadministrado
Alternativa
Escala
Siempre
5
Casi Siempre
4
A Veces
3
Pocas Veces
2
Nunca
1
Fuente: Elaboración propia (2018)
Resultados y discusión
Para el análisis de los cuestionarios autoadministrados se usó la estadística descriptiva,
considerando la frecuencia absoluta (Fa), frecuencia porcentual (F%), media aritmética () y la
desviación estándar (σ), (ver tabla 5).
Cuando se comenta sobre los usos de la demostración matemática, se refiere al fin con el cual
es utilizado este proceso en el aula de clases, ligado al nivel académico de los estudiantes con los
cuales se esté enseñando, así como también al alcance que pueda llegar a tener el educando en el
proceso de aprendizaje.
El análisis de los resultados mostrados en la tabla 5, se realizó basándose en las mayores
frecuencias porcentuales obtenidas de las diferentes opciones de respuesta, debido a que fue la
tendencia que mostró esa opción.
Tabla 5. Usos de la demostración en educación matemática
Indicador
Siempre
Casi
Siempre
Algunas
Veces
Casi Nunca
Nunca
σ
Fa
F%
Fa
F%
Fa
F%
Fa
F%
Fa
F%
Verificación – Convicción
13
5,4
45
18,6
42
17,4
50
20,7
92
38,0
2,33
1,29
Explicación – Comprensión
13
5,4
34
14,0
121
50,0
25
10,3
49
20,2
2,74
1,09
Sistematización
0
0
63
26,0
102
42,1
58
24,0
19
7,9
2,86
0,89
Descubrimiento –
Exploración
24
9,9
75
31,0
91
37,6
46
19,0
6
2,5
3,27
0,96
Comunicación
15
6,2
32
13,2
82
33,9
103
42,6
10
4,1
2,75
0,95
Fuente: Elaboración propia (2018)
Las respuestas para el indicador Verificación – Convicción arrojaron un 38,0% en la opción
nunca, lo cual revela que, según los estudiantes, los docentes nunca hacen uso de la
demostración con el fin de verificar resultados matemáticos o convencer a sus aprendices de la
veracidad de estos; asimismo los docentes están evadiéndose de hacer demostraciones con este
fin. No se toma en cuenta que uno de los objetivos de desarrollar demostraciones matemáticas es
obtener certeza de un teorema y convencer a los pares y a uno mismo de ésta (De Caicedo, 2010).
De la misma forma De Villiers (1993) afirma que con la demostración se busca la certeza o
verdad de una proposición.
Para el indicador Explicación – Comprensión, el 50% de los estudiantes respondieron a la
opción algunas veces, lo cual establece que, según ellos, los docentes a veces usan la
demostración matemática para explicar y comprender. De Caicedo (2010) plantea que los
docentes deben demostrar el por qué una proposición es verdadera, también debe ser usada con el
propósito de que el individuo comprenda mejor el objeto matemático involucrado; en palabras de
Bravo (s/f), al hacer uso de la demostración matemática se busca explicar por qué la proposición
es cierta, hacer la actividad significativa, a la vez que constituye una motivación.
Con respecto al indicador Sistematización las respuestas de los estudiantes muestran un
42,1% en la opción algunas veces, lo cual indica que la demostración es utilizada algunas veces
por los docentes para este propósito; según De Caicedo (2010), los docentes deben utilizar las
demostraciones matemáticas para identificar inconsistencias, integrar los teoremas y definiciones,
dar lugar a nuevos sistemas axiomáticos, permitir coherencia y unificación de los resultados.
Con relación al indicador Descubrimiento – Exploración, los resultados obtenidos dieron
37,6% en la opción algunas veces; De Villiers (1993) citado por Sánchez (2014) plantea que la
demostración matemática debe ser usada para descubrir nuevos resultados e incluso nuevas ramas
del conocimiento; asimismo, De Caicedo (2010) establece que este proceso tiene como objetivo
encontrar nuevos teoremas a partir de deducciones de otros teoremas, como ha sucedido
históricamente, o a partir de la exploración y análisis de situaciones. Al usar la demostración
matemática en el aula de clases se le transmite el mensaje a los estudiantes de que esta ciencia fue
realizada por hombres y que estos utilizaron procedimientos lógicos para llegar a nuevos
resultados.
Por último, para el indicador Comunicación los resultados arrojaron que el 42,6% de los
estudiantes respondieron que casi nunca la demostración matemática es usada para tal fin; según
De Caicedo (2010) el docente la mayoría de las veces no busca informar resultados matemáticos
entre personas de una misma comunidad; también De Villiers, (1993) citado por Sánchez (2014)
afirma que la demostración matemática es un modo de comunicar nuevos resultados dentro de un
lenguaje común, lo que permite la crítica constructiva de las demostraciones que van
elaborándose; pero de acuerdo a las respuestas de los estudiantes encuestados, no se lleva a cabo.
Conclusiones
Se determinó que, según los estudiantes, los docentes nunca hacen uso de las demostraciones
matemática con el fin de verificar los resultados que se obtienen, comprobándose así que estos
basan la veracidad de los mismos en el hecho de que en el libro de texto se encuentran
desarrollados.
La demostración matemática es utilizada algunas veces por los docentes para explicar los
teoremas que se trabajan en clases, estos revelan la veracidad de las afirmaciones realizadas en
torno a un tema específico haciendo uso de este proceso; además es utilizada algunas veces para
sistematizar sus clases; es decir, usan a veces las demostraciones para detectar inconsistencias y
faltas de coherencia; integrar teoremas, definiciones, resultados; establecer nuevos sistemas
axiomáticos.
Asimismo, la demostración matemática es utilizada algunas veces con el fin de desarrollar
resultados y teoremas novedosos; de la misma forma se hace uso algunas veces de esta
importante herramienta para comunicar resultados matemáticos dentro de una comunidad
científica, con un lenguaje apropiado; vale destacar que la demostración matemática es el
instrumento más adecuado para transmitir los conocimientos matemáticos a los estudiantes y
lamentablemente no se está haciendo el uso que se debería hacer de esta.
La educación matemática es un terreno fértil para la investigación y son los docentes los
llamados a propiciar los cambios necesarios para el mejoramiento del sistema educativo de
cualquier país; pero sin embargo, en muchas ocasiones, la formación se encuentra inmersa en la
frase enseño como me enseñaron, dejando a un lado las nuevas teorías didácticas que han surgido
con el pasar del tiempo.
Por lo tanto, es en las aulas de clases donde comienzan los procesos de innovación de cada
país y es en la formación de sus ciudadanos donde se establece el crecimiento a futuro de las
naciones. Así, el docente, desde su praxis cotidiana, es el llamado a propiciar nuevas estrategias y
métodos de enseñanza y aprendizaje. Es la demostración matemática, uno de los procesos
didácticos que fortalecerá el pensamiento lógico – matemático y el pensamiento crítico de los
ciudadanos y estos a su vez, podrán trazar nuevos horizontes que lleven a los pueblos a un
desarrollo verdadero y, paulatinamente a una reforma positiva en todos los ámbitos de su
quehacer diario.
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